Hlavní obsah

Kurz: Výrazy > Kapitola 7

Lekce 1: Zjednodušování lomených výrazů

Úvod do upravování lomených výrazů

Pojďme se naučit, co to znamená zjednodušovat lomené výrazy a jak toho docílit.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů. Definičním oborem lomeného výrazu jsou všechna reálná čísla kromě těch, pro která je jmenovatel roven nule.

Například definiční obor výrazu

\frac{x + 2}{x + 1}

jsou všechna reálná čísla kromě $-1$ ‍, píšeme proto podmínku

x \neq - 1

Pokud ti to není povědomé, tak koukni na video úvod do lomených výrazů.

Také je potřeba vědět, jak rozložit mnohočlen.

Co se v tomto článku dozvíš

Zde se naučíme, jak zjednodušit lomené výrazy. Koukneme se na několik příkladů.

Úvod

Lomený výraz je ve zjednodušeném tvaru, pokud čitatel a jmenovatel nemají žádného společného dělitele.

Lomený výraz můžeme zjednodušit stejným způsobem jako číselné zlomky.

Například, zjednodušený (základní) tvar

\frac{6}{8}

\frac{3}{4}

. Všimni si, že jsme zkrátili společného dělitele

2

z čitatele a jmenovatele.

$\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Rozložení \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Zkrácení společného dělitele \\ = \frac{3}{4} & Zjednodušený tvar \end{aligned}$ ‍

Příklad 1: Zjednodušení $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

Když chceme zjistit, jestli budeme moci krátit, tak musíme rozložit jmenovatele a čitatele.

$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Zde se hodí vypočítat podmínky pro hodnoty proměnné $x$ ‍. Ty budou platit i pro zjednodušený výraz.

Jelikož dělení $0$ ‍ není definované, tak vidíme, že $x \neq 0$ ‍ a $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

Všimni si, že jmenovatel a čitatel mají stejného činitele $x$ ‍. Můžeme jej zkrátit.

$\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Původní výraz byl definovaný pro $x \neq 0, - 5$ ‍. Zjednodušený výraz musí mít stejné podmínky.

Kvůli tomu musíme napsat, že $x \neq 0$ ‍. Nemusíme psát, že $x \neq - 5$ ‍, protože to plyne z výrazu.

Závěrem je, že zjednodušený výraz je:

$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ pro $x \neq 0$ ‍

Poznámka o ekvivalentních výrazech

Původní výraz	‍	Zjednodušený výraz
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ pro $x \neq 0$ ‍

Tyto výrazy jsou ekvivalentní. To znamená, že jejich hodnoty jsou stejné pro všechny hodnoty proměnné

x

. Následující tabulka to ukazuje pro

x = 2

	Původní výraz	‍	Zjednodušený výraz
Dosazení $x = 2$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
Poznámka	Výsledek zjednodušíme tím, že vytkneme $2$ ‍.		Výsledek už je zjednodušený, protože $x$ ‍ $($ ‍zde $x = 2)$ ‍ už se zkrátilo při zjednodušení výrazu.

Díky tomu mají dva výrazy stejnou hodnotu. Nicméně hodnota, pro kterou původní výraz není definovaný, to většinou poruší. Koukněme se na případ

x = 0

	Původní výraz	‍	Zjednodušený výraz (bez podmínek)
Dosazení $x = 0$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = nedefinované \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Protože oba výrazy musím být ekvivalentní pro všechny hodnoty proměnné, proto musíme mít napsanou podmínku

x \neq 0

Časté chyby

Všimni si, že v tomto výrazu nemůžeme zkrátit

x

. To kvůli tomu, že se nejedná o součin.

$\frac{x + 3}{x + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Je to hezky vidět, když dosadíme pevné číslo. Například

x = 2

$\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Pravidlem je, že můžeme krátit jenom tehdy, když jsou činitel a jmenovatel rozložení na součin.

Shrnutí zjednodušování

Krok 1: Rozlož jmenovatele a čitatele.
Krok 2: Najdi hodnoty, ve kterým není výraz definovaný.
Krok 3: Zkrať společné činitele.
Krok 4: Zjednoduš a zapiš hodnoty, pro které původní výraz nebyl definovaný, ale zjednodušený už by mohl být.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Zjednoduš $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍.

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

$\frac{6 x + 20}{2 x + 10} = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Vidíme, že $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} & = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} \\ = \frac{3 x + 10}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz napíšeme takto:

$\frac{3 x + 10}{x + 5}$ ‍

Pro původní výraz platí $x \neq - 5$ ‍. Pro zjednodušený výraz také platí $x \neq - 5$ ‍. Nemusíme psát žádné další podmínky.

2) Zjednoduše $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍.

pro

x \neq

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

$\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x} = \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Vidíme, že $x \neq 0$ ‍ a $x \neq \frac{5}{4}$ ‍.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)} & = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x (x - 3)}{4 x - 5} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz napíšeme takto:

$\frac{x (x - 3)}{4 x - 5}$ ‍ pro $x \neq 0$ ‍

Pro původní výraz platí, že $x \neq 0, \frac{5}{4}$ ‍. Nepotřebujeme napsat $x \neq \frac{5}{4}$ ‍, jelikož to vyplývá z výrazu.

Příklad 2: Zjednoduš $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Jelikož dělení $0$ ‍ není definované, tak vidíme, že $x \neq - 2$ ‍ a $x \neq - 3$ ‍.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

Jmenovatel a čitatel mají stejného činitele $x + 3$ ‍. Toho můžeme zkrátit.

$\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz napíšeme takto:

$\frac{x - 3}{x + 2}$ ‍ pro $x \neq - 3$ ‍

Pro původní výraz platí, že $x \neq - 2, - 3$ ‍. Nemusíme psát $x \neq - 2$ ‍, jelikož to vyplývá z výrazu.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

3) Zjednoduš $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍.

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Vidíme, že $x \neq - 1$ ‍ a $x \neq 1$ ‍.

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} & = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \\ = \frac{x - 2}{x + 1} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz napíšeme takto:

$\frac{x - 2}{x + 1}$ ‍ pro $x \neq 1$ ‍

Pro původní výraz platí, že $x \neq \pm 1$ ‍. Nepotřebujeme napsat $x \neq - 1$ ‍, jelikož to vyplývá z výrazu.

4) Zjednoduš $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍.

pro

x \neq

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6} = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Vidíme, že $x \neq - 3$ ‍ a $x \neq 2$ ‍.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} & = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{x - 5}{x - 2} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz napíšeme takto:

$\frac{x - 5}{x - 2}$ ‍ pro $x \neq - 3$ ‍

Pro původní výraz platí, že $x \neq - 3, 2$ ‍. Nemusíme psát $x \neq 2$ ‍, jelikož to vyplývá z výrazu.

Co bude dál?

Můžeš pokračovat na pokročilé zjednodušování lomených výrazů, kde jsou složitější příklady.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Výrazy

Kurz: Výrazy > Kapitola 7

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Co se v tomto článku dozvíš

Úvod

Příklad 1: Zjednodušení x2+3xx2+5x‍

Poznámka o ekvivalentních výrazech

Časté chyby

Shrnutí zjednodušování

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Příklad 2: Zjednoduš x2−9x2+5x+6‍

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

Co bude dál?

Chceš se zapojit do diskuze?

Příklad 1: Zjednodušení $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Příklad 2: Zjednoduš $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍