Hlavní obsah
Použití vzorce na kosinus dvojnásobného úhlu
V pravoúhlém trojúhelníku máme najít kosinus dvojnásobného úhlu. K tomu využijeme vzoreček. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme zde trojúhelník ABC,
který vypadá jako pravoúhlý. A my víme,
že je pravoúhlý, protože 3 na druhou plus 4
na druhou je rovno 5 na druhou. A nyní se po nás chce, abychom zjistili,
kolik je kosinus (2 krát úhel ABC). Jedná se o tento
úhel u vrcholu B - ABC. Nemůžeme to
rovnou vypočítat, ale víme, kolik
je kosinus úhlu ABC. Víme, že
kosinus ABC... ...kosinus je přilehlá
ku přeponě. Bude to tedy
rovno 3 lomeno 5. A podobně víme,
kolik je sinus úhlu ABC. To je protilehlá
ku přeponě. Tedy po dosazení
4 lomeno 5. Takže pokud bychom zadaný výraz zvládli
rozložit na sinus a kosinus úhlu ABC, mohli bychom
to i vypočítat. Naštěstí pro nás máme šikovný vzorec,
který přesně toto dělá. Víme, že kosinus
dvojnásobného úhlu je roven kosinu úhlu na druhou
minus sinus úhlu na druhou. To jsme si již dokázali
v předchozích videích, ale nyní se nám
to velice hodí. Protože nyní
víme, že kosinus... ...udělám to v jiné barvě... ...víme, že kosinus
úhlu ABC bude roven... ...pardon, je to
kosinus 2 krát úhel ABC. To je to,
co nás zajímá. 2 krát úhel ABC je roven kosinu úhlu ABC
na druhou minus sinus úhlu ABC na druhou. A my víme,
kolik to je. Tahle věc zde je
rovna (3 lomeno 5) na druhou. Kosinus úhlu ABC
jsou 3 pětiny. Takže to umocníme. A tohle zde jsou
(4 lomeno 5) na druhou. Takže minus
4 pětiny na druhou. Po umocnění je to 9 lomeno 25
minus 16 lomeno 25. Což je rovno
7 lomeno 25. ...omlouvám se,
je to záporné. Musíme být opatrní. 16 je větší než 9. Tedy výsledek
je minus 7 lomeno 25. Možná je vám divné, proč jsem
dostal zápornou hodnotu, když jsem zdvojnásobil úhel. Protože kosinus úhlu
byl očividně kladný. Pro odpověď si musíte
vzpomenout na jednotkovou kružnici. Už víme, že definice goniometrických
funkcí pomocí jednotkové kružnice, je jen rozšířením
základních definic. Osa X. Osa Y. Nakreslím jednotkovou
kružnici. Tentokrát se
mi povedla. Tak, to je
jednotková kružnice. Úhel, který nás zajímá,
vypadá nějak takhle. Z toho vidíme, že souřadnice na ose X,
která určuje kosinus úhlu, je kladná. Ale v případě, že
úhel zdvojnásobíte, zaneste vás
to někam sem. A v tu chvíli vidíte, že jsme se
přehoupli do druhého kvadrantu. Souřadnice na ose X
tedy může být záporná. A to je vlastně to, co se
stalo v tomto příkladu.