Použití součtového vzorce u kosinu

Máme tu trojúhelník ABC. Vypadá jako pravoúhlý trojúhelník. Můžeme si to ověřit, jestli splňuje Pythagorovu větu. 8 na druhou je 64 plus 15 na druhou je 225. 64 plus 225 je 289, což je 17 na druhou. Takže to opravdu splňuje Pythagorovu větu. A díky tomu víme, že trojúhelník je pravoúhlý. Naším úkolem je najít kosinus úhlu ABC...to je tento úhel... ...plus 60 stupňů. Takovéto zadání nemá úplně přímočaré řešení. Ale vzhledem k tomu, že známe několik goniometrických vztahů, můžeme je zde použít a dosáhnout tím výsledku. Konkrétně víme, že kosinus součtu 'a' plus 'b' je roven kosinu 'a' krát kosinu 'b' minus sinus 'a' krát sinus 'b'. Takže tu můžeme udělat stejnou věc s kosinem součtu úhlů ABC a 60 stupňů. Tohle se bude rovnat... rozepíšu to zde celé. Kosinus úhlu ABC krát kosinus 60 stupňů minus sinus úhlu ABC krát sinus 60 stupňů Takže tento úhel je úhel ABC. Tohle je také úhel ABC. A tohle je 60 stupňů, a tohle také. Pojďme si vypočítat jednotlivé části. Čemu se bude rovnat kosinus ABC? Vypočítám si to tady stranou. Kosinus úhlu ABC. Potřebujeme definici kosinu a můžeme využít anglických SOH CAH TOA. Napíši si to tady. SOH CAH TOA. Kosinus je definován jako přilehlá odvěsna úhlu ku přeponě. Takže kosinus úhlu ABC je roven 15 lomeno 17. Tohle nám vyjde 15 lomeno 17. Jaká je hodnota kosinu 60 stupňů? Tuto hodnotu jsme schopni si odvodit ze znalosti speciálního 30-60-90 trojúhelníku. Takže, kdybych měl nějaký takovýhle trojúhelník, ...udělám, co bude v mých silách na vytvoření 30-60-90 trojúhelníku. Tady bude 60 stupňů. Tady 30 stupňů. Víme a viděli jsme to už několikrát, že když přepona má délku 1, tak strana naproti 30 stupňům má délku jedné poloviny. A poté strana naproti 60 stupňům má délku 3 odmocniny z jedné poloviny. Je to tedy odmocnina ze 3 lomeno 2. Takže kosinus 60 stupňů je roven... ...vzpomeňte si na délku strany naproti tomuto úhlu... ...použiji na to novou barvu... Tedy zajímá nás teď kosinus 60 stupňů. Kosinus 60 stupňů se tedy bude rovnat přilehlé ku přeponě, tedy 1/2 lomeno 1. Bude to jedna polovina dělená 1, což se rovná jedna polovina. Teď se zamyslíme nad sinem. Sinus úhlu ABC. To je tenhle člen. Jen si vyhledáme správná čísla na trojúhelníku ze zadání. Sinus je protilehlá ku přeponě. Protilehlá má délku 8. Lomeno přepona, to je 17. Takže se to celé rovná 8 lomeno 17. A nakonec to stačí jen vyřešit, kolik je sinus 60 stupňů. Podívejme se na protilehlou stranu 60 stupňů v pravoúhlém trojúhelníku, zajímá nás protilehlá lomeno přepona. To je druhá odmocnina ze 3 lomeno 2 lomeno 1, což je jenom odmocnina ze 3 lomeno 2. To znamená, že mám všechny potřebné informace, které k výpočtu potřebujeme. Takže tohle je sinus 60 stupňů. Pojďme tam nyní dosadit. Kosinus úhlu ABC je 15 lomeno 17 krát kosinus 60 stupňů, což je 1/2. Tedy násobím jednou polovinou. Dále budeme odečítat sinus ABC, což je 8 lomeno 17, vynásobeno sinem 60, což je odmocnina ze 3 lomeno 2. Takže krát odmocnina ze 3 lomeno 2. A teď si to ještě můžeme zjednodušit. Čemu se to tedy bude rovnat? Když vynásobím 1/2 krát tohle, bude to 15 lomeno 34 minus... ...a co tady? Tady to můžeme vydělit 2. Takže je to 4/17. Napíšu to sem jako 4 krát odmocnina ze 3 lomeno 17. S takovýmhle tvarem už jsem spokojen. Kdybych chtěl, mohl bych to převést na společného jmenovatele, což je 34. A pak bych mohl přidat 2, takže by to bylo 8 krát odmocnina. Pak by to bylo 3 lomeno 34, ale to není takové zjednodušení. Tohle je rozumná odpověď na zadanou otázku. 15 lomeno 24 minus 4 krát odmocnina ze 3 lomeno 17.