Hlavní obsah

Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 2

Lekce 3: Součet konečných aritmetických řad

Sčítání konečných aritmetických řad - pracovní list

Zkus si pár příkladů na výpočet součtu konečné aritmetické řady.

Cvičení na sčítání konečných aritmetických řad

Příklad 1

\sum_{k = 1}^{275} (- 5 k + 12) =

Co se po nás chce?

Naším úkolem je spočítat součet hodnot

- 5 k + 12

k = 1

k = 275

(- 5 \cdot 1 + 12) + (- 5 \cdot 2 + 12) + … + (- 5 \cdot 275 + 12)

Jde o aritmetickou řadu, protože výraz

- 5 k + 12

je lineární funkcí proměnné

k

Vzorec pro součet konečné aritmetické řady

Součet

S_{n}

konečné aritmetické řady spočítáme takto:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

přičemž

a_{1}

je její první člen,

a_{n}

její poslední člen a

n

je počet jejích členů.

Co k použití tohoto vzorce potřebujeme?

Musíme znát počet členů

(n = 275)

, což je číslo nad znakem sumy.

Dále potřebujeme určit

a_{1}

(první člen řady) a

a_{275}

(poslední člen řady).

Krok 1: Určení $a_{1}$ ‍ a $a_{275}$ ‍ (prvního a posledního členu řady)

a_{1} = - 5 (1) + 12 = 7

a_{275} = - 5 (275) + 12 = - 1 363

Krok 2: Výpočet součtu řady $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{275} & = \frac{(7 + (- 1 363))}{2} \cdot 275 \\ S_{275} & = - 678 (275) \\ S_{275} & = - 186 450 \end{aligned}

Odpověď

- 186 450

Příklad 2

Aritmetická posloupnost

a_{i}

je zadána následovně:

a_{1} = 2

a_{i} = a_{i - 1} - 3

Spočítej součet prvních $335$ ‍ členů této posloupnosti.

Začínáme

Nejprve si napišme součet několika prvních členů:

2 + (- 1) + (- 4) + (- 7) …

Jde o aritmetickou řadu, protože rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy je vždy stejný. Každý člen je o

3

menší než ten předchozí.

K výpočtu tedy potřebujeme vzorec pro součet konečné aritmetické řady.

Vzorec pro součet konečné aritmetické řady

Součet

S_{n}

konečné aritmetické řady spočítáme takto:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

přičemž

a_{1}

je její první člen,

a_{n}

její poslední člen a

n

je počet jejích členů.

Co k použití tohoto vzorce potřebujeme?

První člen

(a_{1} = 2)

a počet členů

(n = 335)

máme přímo v zadání úlohy.

Zbývá nám určit poslední člen

(a_{n})

Krok 1: Určení $a_{n}$ ‍ (posledního členu řady)

Po prvním členu následuje dalších

335 - 1 = 334

členů. Každý další člen je o

3

menší než ten předchozí. Poslední člen tak bude o

334 \cdot 3 = 1 002

menší než první člen

2

. To znamená, že poslední člen je

2 - 1 002 = - 1 000

Vyšlo nám tedy, že

a_{n} = - 1 000

Krok 2: Výpočet součtu řady $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{335} & = \frac{(2 + (- 1 000))}{2} \cdot 335 \\ S_{335} & = - 499 (335) \\ S_{335} & = - 167 165 \end{aligned}

Odpověď

- 167 165

Příklad 3

Spočítej součet $- 50 + (- 44) + (- 38) + … + 2 038 + 2 044$ ‍.

Začínáme

Jde o aritmetickou řadu, protože rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy je vždy stejný. Každý člen je o

6

větší než ten předchozí.

K výpočtu tedy potřebujeme vzorec pro součet konečné aritmetické řady.

Vzorec pro součet konečné aritmetické řady

Součet

S_{n}

konečné aritmetické řady spočítáme takto:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

přičemž

a_{1}

je její první člen,

a_{n}

její poslední člen a

n

je počet jejích členů.

Co k použití tohoto vzorce potřebujeme?

První člen

(a_{1} = - 50)

a poslední člen

(a_{n} = 2 044)

máme přímo v zadání.

Zbývá nám určit

n

(počet členů řady).

Krok 1: Určení $n$ ‍ (počtu členů řady)

Rozdíl mezi prvním a posledním členem řady je

2 044 - (- 50) = 2 094

. Každý člen řady je o

6

větší než ten předchozí. Abychom se z prvního členu dostali až na ten poslední, musíme k němu

6

přičíst celkem

\frac{2 094}{6} = 349

krát. Ještě je ale třeba započítat samotný první člen, takže řada má celkem

349 + 1 = 350

členů.

Vyšlo nám tedy, že

n = 350

Krok 2: Výpočet součtu řady $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{350} & = \frac{(- 50 + 2 044)}{2} \cdot 350 \\ S_{350} & = 997 (350) \\ S_{350} & = 348 950 \end{aligned}

Odpověď

348 950

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.