Přechod mezi goniometrickým a algebraickým tvarem komplexního čísla

Máme zadáno komplexní číslo <i>z</i>, které se bude rovnat -3 + 2<i>i</i>. Máme to zadáno klasicky, jak to známe, v algebraickém tvaru. Tak si to pojďme zaznačit tady, do naší komplexní roviny. -3 na reálné ose. Vyznačíme si to takto: 1, 2, 3 do mínusu. A 2<i>i</i>, takže 2 na imaginární ose, tedy tady. A naše výsledné číslo <i>z</i> bude ležet tady. To je naše číslo <i>z</i> v komplexní rovině. My ale, kromě tohoto způsobu, který jsme si teď ukázali, máme i jiný způsob, jak určit umístění komplexního čísla <i>z</i> v té komplexní rovině. A to pomocí vzdálenosti od počátku a směru od počátku. Vzdálenost, to nebude těžké určit, to je tato, řekněme, úsečka mezi <i>z</i> a počátkem soustavy souřadnic. Této vzdálenosti říkáme <i>r</i>. Ale jen ta vzdálenost nám nestačí. My nevíme, kterým směrem my vlastně půjdeme. Takže potřebujeme ještě znát směr, tedy potřebujeme znát úhel théta (Θ), který svírá reálná osa, tedy její kladná poloosa, s touto úsečkou mezi <i>z</i> a počátkem. Tentokrát budeme počítat s úhlem théta v radiánech. Teď si toto video zastavte a zkuste se zamyslet nad tím, jaký je vztah mezi <i>r</i> a thétou a -3 a 2. Respektive, jestli můžeme z tohoto algebraického tvaru odvodit <i>r</i> a thétu. Vy už jste určitě přišli na to, že to nějakým způsobem půjde, jinak bych se vás na to neptala. Tak si pojďme společně ukázat, jak to tedy udělat. K tomu nám pomůže jednotková kružnice a goniometrické funkce, které z ní vycházejí. Já si tedy načrtnu jednotkovou kružnici. Takže tedy jednotková kružnice, prochází nám tady těmito body. Tak. Jednotková kružnice. Vezmeme si bod, který leží na této úsečce a který leží i na té jednotkové kružnici. Tedy tady. Jaké budou jeho horizontální a vertikální souřadnice? Pokud už známe dobře jednotkovou kružnici, tak to pro nás nebude problém odvodit. Z jednotkové kružnice víme, že jeho horizontální souřadnice, tedy tento úsek, tento úsek bude tedy roven cosinus théta. A co ty vertikální souřadnice? Takže vertikální souřadnice tohoto bodu, to je někde tady, kde mi zrovna nešťastně prochází ta šipečka, ale to nevadí, když si to zaznačíme, tak to bude vidět. Tato část, tedy vertikální souřadnice toho bodu, bude rovna sinus théta. Opět vycházíme z jednotkové kružnice. Pokud vám toto nic neříká, najděte si nějaké informace o jednotkové kružnici. Není to vůbec složité pochopit. Takže tento bod má tedy souřadnice cosinus théta a sinus théta. Ale tady máme vzdálenost 1. Jelikož je to jednotková kružnice, tak toto je jedna. Ale tady, bod <i>z</i> má vzdálenost <i>r</i>. Takže jaké budou horizontální a vertikální souřadnice toho bodu <i>z</i>? No, budeme je muset vynásobit <i>r</i>. Obě dvě tyto hodnoty vynásobíme <i>r</i>. -3 se tedy bude rovnat ne cosinus théta, ale <i>r</i> krát cosinus théta. A stejně tak 2 se nebude rovnat sinus théta, ale <i>r</i> krát sinus théta. Když už jsme si vyjádřili tyto dvě souřadnice pomocí théty a těch goniometrických funkcí a pomocí vzdálenosti, jak tedy spočítáme to <i>r</i> a tu thétu? Pojďme prvně na tu thétu. K tomu nám zase pomůžou goniometrické funkce. Jaká goniometrická funkce nás napadne, když máme sinus a cosinus? Správně, tangens. Počítáme thétu, a takže tedy tangens théta se bude rovnat sinus théta ku cosinu théta. My si můžeme ve zlomku vynásobit čitatele i jmenovatele stejnou hodnotou a nezmění nám to hodnotu zlomku, tak proč bychom si tedy čitatele i jmenovatele nevynásobili <i>r</i>. Protože teď, my už tu horní i spodní hodnotu, čitatele i jmenovatele, známe. Takže my tedy teď vlastně víme, že tangens théta je rovno <i>r</i> krát sinus théta, což je 2, lomeno <i>r</i> krát cosinus théta, což je -3. Takže to celé bude rovno minus dvě třetiny. Můžeme se na to podívat ještě jedním způsobem a tedy že tangens théta bude roven směrnici této úsečky a směrnici vypočítáme jako vertikální změnu ku horizontální změně, a když jdeme tedy od bodu <i>z</i> do počátku, tak naše vertikální změna je od 2 do 0, tedy -2, a naše horizontální změna je od -3 do 0, a tedy 3, a tedy minus dvě třetiny. Odpovídá to. Správně. Máme tangens théta, chceme spočítat thétu. Na obě dvě strany rovnice tedy musíme použít funkci inverzní k tangensu, tedy arcus tangens. Takže nalevo nám zbyde jenom théta, vpravo dostaneme arcus tangens mínus dvou třetin. A teď je čas vytáhnout kalkulačku. Já to tady nebudu počítat před vámi. Já už jsem si to vypočítala předem, takže vám můžu říct, že to je přibližně, přibližně zaokrouhleno, že tedy théta je minus 0,59. Ale teď pozor na to, minus 0,59 radiánů, samozřejmě. Teď se na to podíváme, máme tady záporné číslo, takže co je toto za úhel, to, co my jsme tady spočítali? To není tento úhel, je to úhel, který svírá… Který svírá ta kladná poloosa té reálné osy s pokračováním, řekněme, této úsečky, tedy by to byl tento úhel. A ten my nechceme. My chceme tento úhel a tedy toto není ta naše hledaná. Naše hledaná théta bude tento úhel, tedy minus 0,59 radiánů plus pí radiánů, tak, jak to vidíme tady, na té jednotkové kružnici. Takže naše théta tedy bude rovna přibližně, pozor opět přibližně, minus 0,59 plus pí radiánů, a tedy 2,55 radiánů. Spočítali jsme si thétu, tedy tento úhel. Pojďme se ještě podívat, jestli jsme počítali správně. Jenom zhruba. Víme, že tato imaginární osa, ta jde tedy vertikálně nahoru, takže svírá s touto kladnou poloosou, reálnou, úhel pí polovin, to je tedy… Pí je zhruba 3,14, tak to je zhruba 1,57. A tato záporná poloosa, ta záporná část té reálné osy, svírá s tou kladnou úhel pí, a tedy 3,14. Takže by ten úhel théta měl být něco mezi 1,57 a 3,14, což opravdu je. Takže jsme počítali správně. Tak, máme thétu. Ještě chceme spočítat to <i>r</i>. To bude úplně jednoduché, protože použijeme něco, co známe už dávno, Pythagorovu větu. My si totiž tady představíme pravoúhlý trojúhelník, takto, kde: tady máme přeponu <i>r</i> a odvěsnu, která je rovna 2, jak už víme, a ta druhá, spodní, je rovna 3. Podle Pythagorovy věty <i>r</i> na druhou se rovná 2 na druhou plus 3 na druhou, tedy <i>r</i> se rovná odmocnina z 2 na druhou plus 3 na druhou. 2 na druhou, to je 4, 3 na druhou je 9 a <i>r</i> je tedy rovno odmocnině z 13. Máme tedy thétu, máme tedy <i>r</i>, což jsme chtěli, takže si teď toto číslo <i>z</i> v algebraickém tvaru můžeme vyjádřit pomocí těchto spočítaných hodnot. Já si to kousek posunu, ať tady máme místo. Opíšu tady ještě jednou to číslo, co jsme měli nahoře. <i>z</i> se rovná minus 3 plus 2<i>i</i>. Pojďme tedy přepisovat. <i>z</i> se rovná: -3 je tedy rovno <i>r</i> cosinus théta. Takže <i>r</i> je odmocnina z 13 krát cosinus théta a tedy cosinus 2,55. Pozor, už se zase dostáváme do toho, že tady to máme přibližně, takže i tady to bude přibližně. Plus 2<i>i</i>, 2 je tedy rovno <i>r</i> sinus théta, a tedy odmocnina z 13 sinus 2,55, a to celé je ještě krát <i>i</i>. Když se na to podíváme, tak si z obou částí můžeme vytknout odmocninu z 13, takže ten výsledný tvar by vypadal takto. Přibližně, pozor. Odmocnina z 13 krát, a teď už v závorce, cosinus 2,55 plus… Ať tady nemusím dávat další závorku, tak si dám <i>i</i> dopředu. <i>i</i> krát sinus 2,55. Teď se nám tedy podařilo si vyjádřit to <i>z</i> pomocí té vzdálenosti a úhlu théta, tedy toho směru od počátku. My totiž jsme si spočítali <i>r</i> a víme, že ten úhel bude 2,55 radiánů, úhel théta. Takže už víme, jak na to pomocí polárních souřadnic a jsme tedy schopní z algebraického tvaru na začátku se dostat k tvaru tomuto, kterému říkáme goniometrický. A já myslím, že pro dnešek už to stačilo.