Hlavní obsah

Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2

Lekce 5: Goniometrický tvar komplexních čísel

Přehled různých tvarů komplexního čísla

Osvěž si své znalosti o různých typech zápisu komplexních čísel - jejich algebraickém, goniometrickém a exponenciálním tvaru.

Jaké tvary komplexního číslo známe?


Algebraický	$a + b i$ ‍
Goniometrický	$r (\cos (θ) + i \sin (θ))$ ‍
Exponenciální	$r \cdot e^{i θ}$ ‍

Algebraický tvar

a + b i

Algebraický tvar komplexního čísla je součtem dvou čísel, a to jeho

reálné

části a jeho

imaginární

části vynásobené imaginární jednotkou

i

Psát čísla v tomto tvaru je velmi výhodné při sčítání a odčítání komplexních čísel.

Komplexní číslo v algebraickém tvaru také snadno zakreslíme do komplexní roviny. Reálná a imaginární část daného čísla jsou totiž jeho souřadnicemi na reálné a imaginární ose v tomto pořadí.

Chceš se o algebraickém tvaru komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video o rovině komplexních čísel a na tohle video o sčítání a odčítání komplexních čísel.

Goniometrický tvar

r (\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))

Goniometrický tvar zdůrazňuje geometrické vlastnosti komplexního čísla, konkrétně jeho

absolutní hodnotu

(vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině) a

argument

(velikost úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku v komplexní rovině s kladnou reálnou poloosou). Absolutní hodnotě se někdy říká

modulus

Všimni si, že když v goniometrickém tvaru roznásobíme závorku, vyjde nám příslušný algebraický tvar:

r (\cos (θ) + i \cdot \sin (θ)) = \overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \cdot i

Goniometrický tvar je velmi užitečný při násobení a dělení komplexních čísel. Například součin dvou komplexních čísel s absolutními hodnotami

r_{1}

r_{2}

a argumenty

θ_{1}

θ_{2}

je komplexní číslo s absolutní hodnotou

r_{1} r_{2}

a argumentem

θ_{1} + θ_{2}

. Více si o tom povíme v následující lekci.

Chceš se o goniometrickém tvaru komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video.

Exponenciální tvar

r \cdot e^{i θ}

V exponenciálním tvaru komplexního čísla se vyskytují stejné atributy daného čísla jako ve tvaru goniometrickém, a to

absolutní hodnota

argument

. Jde jen o jiný a kratší zápis, se kterým se dobře pracuje. Například součin dvou komplexních čísel můžeme díky exponenciálnímu tvaru zapsat takto:

(r_{1} \cdot e^{i θ_{1}}) \cdot (r_{2} \cdot e^{i θ_{2}}) = r_{1} r_{2} \cdot e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

Tento tvar využívá rozšířenou exponenciální funkci

e^{z}

definovanou pro libovolné komplexní číslo

z

. Přesné odůvodnění je poměrně složité, ale výsledný vztah je jednoduchý: pro libovolné reálné číslo

x

definujeme

e^{i x}

jako

\cos (x) + i \sin (x)

Užitím této definice dostáváme rovnost mezi exponenciálním a goniometrickým tvarem:

r \cdot e^{i θ} = r (\cos (θ) + i \sin (θ))

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.