Záporný výsledek určitého integrálu

Už jsme přemýšleli o tom, co znamená určitý integrál. Kdybych vzal určitý integrál od a do b z funkce f(x) podle dx, mohl bych ho prostě chápat jako plochu pod funkcí f. Takže pokud je tohle osa y a tohle osa x a y se rovná f(x) nebo něčemu takovému, pak je y rovno f(x). A pokud je tohle a a tohle b, můžu to chápat tak, že se tento výraz rovná této ploše. Ale co kdyby moje funkce nebyla nad osou y? Co kdyby byla pod osou x? Tohle je tedy stejné. Řekněme… já ten případ tedy načrtnu. Takže načrtnu případ, kde tohle je osa x a tohle je osa y. Řekněme, že mám… že mám funkci, která vypadá takhle. Tohle je y rovno g od x. A řekněme, že tady tohle je a a tohle zde je b. A řekněme, že tahle plocha je rovna pěti. No, kdybych se vás zeptal, co je to určitý integrál od a do b z funkce g(x), co byste si mysleli, že to bude? Možná byste chtěli říct: Je to zase plocha mezi tou křivkou a osou x. Možná byste chtěli říct: To se bude rovnat pěti. Ovšem musíte být velmi opatrní. Protože pokud sledujete plochu nad křivkou a pod osou x, místo plochy pod křivkou a nad osou x, ten určitý integrál bude záporná hodnota plochy. Později uvidíme, proč to takhle vychází, a to díky celé řadě nástrojů integrování. Ale pokud chcete získat nějakou představu, zamyslete se nad závislostí rychlosti a času na grafu. Takže když… Na horizontální ose je čas. Na vertikální ose je rychlost. A rychlost bude měřena v metrech za sekundu. Čas bude měřen v sekundách. Čas je měřen v sekundách. A já tu ukážu dva případy. Řekněme, že mám první graf závislosti rychlosti a času. Nazveme to jednoduše v jedna od t, což se rovná třem. A byly by to tři metry za sekundu, takže jedna, dvě, tři. Vypadalo by to tedy takhle. Tohle je v jedna od t. A kdybych se chtěl podívat na určitý integrál omezený časem od jedné do pěti funkce v jedna od t podle dt, čemu by se to rovnalo? No tak tady je moje funkce nad osou t. Takže půjdu prostě od jedné do pěti, což bude zhruba tady. A tady můžu zvažovat jen plochu. Je dost snadné spočítat tuhle plochu. Budou to 3 metry za sekundu krát 4 sekundy. To je moje změna času. Takže tohle bude 12 metrů. A tak se tohle bude rovnat dvanácti. Jedna z možností, jak to chápat, je, že nám to říká změnu polohy. Pokud je rychlost 3 metry za sekundu a zároveň je kladná, můžete to chápat tak, že se to pohybuje doprava o tři metry za sekundu. Jaká je změna polohy? No, posunul bych se o 12 metrů doprava. Na výpočet nepotřebujete matematickou analýzu. Tři metry za sekundu krát čtyři sekundy by bylo 12 metrů. Ale co kdyby to bylo naopak? Co kdybych měl jinou funkci rychlosti, nazveme ji v dvě od t, která se rovná záporné hodnotě 2 metrů za sekundu. A jsou to konstantní záporné 2 metry za sekundu. Takže tady tohle je v dvě od t. Čemu by se rovnal nebo čemu by se měl rovnat určitý integrál od jedné do pěti funkce v dvě od t podle dt? Měl by být roven změně polohy. Ale pokud je rychlost záporná, znamená to, že se pohybuji doleva. To znamená, že změna polohy by měla mířit doleva, ne doprava. A tak se můžeme zaměřit na tuhle plochu. Pokud se na to díváte jako na obdélník, bude to dva krát čtyři, co je rovno osmi. Ale musíte být velmi opatrní. Protože to je pod horizontální osou a nad mou funkcí, bude to záporné. A to by mělo naprosto dávat smysl. Pokud se pohybuji dva metry za sekundu doleva po dobu čtyř sekund… Nebo jiný způsob, jak to chápat… Pokud se pohybuji záporné dva metry za sekundu po dobu čtyř sekund, pak bude změna polohy mínus osm metrů. Posunul bych se o osm metrů doleva, jestliže řekneme, že je konvencí, že záporná hodnota znamená posun doleva. Takže zásadní poznatek je, že pokud je to pod vaší funkcí a nad horizontální osou a pokud je a menší než b, potom bude váš určitý integrál kladný. Pokud je a menší než b, ale vaše funkce je na tomto intervalu pod horizontální osou, potom bude váš určitý integrál záporný. A v budoucnu se podíváme na určité integrály, které jsou kombinací obojího, ale to je trochu složitější.