Výpočet určitých integrálů pomocí výpočtu obsahu plochy pod křivkou

Máme za úkol najít následující integrály. Máme tu zadaný graf funkce f. Tak tenhle první je určitý integrál od mínus šesti do mínus dvou z funkce f od x podle dx. Zastavte si video a zkuste si ten integrál vyřešit sami. Z tohoto grafu. Dobře, jdeme z x rovno mínus šesti do x rovno mínus dvěma a určitý integrál bude plocha pod grafem a nad osou x. Takže to bude tady tahle plocha. A jak na ni přijdeme? No, tohle je půlkruh a my víme, jak najít obsah kruhu, pokud známe poloměr. Tenhle kruh má poloměr dva… Má poloměr dva. Nehledě na směr, kterým vyrazíme ze středu, má poloměr dva. Tak, a plocha kruhu je pí r na druhou. Takže to bude pí krát náš poloměr, což jsou dva na druhou, ale tohle je půlkruh, takže to vydělím dvěma. Je to jen jedna polovina plochy celého kruhu. Tak to bude čtyři pí lomeno dvěma, a to je rovno dvěma pí. Dobře, pojďme na další. Tak tady máme určitý integrál od mínus dvou do jedné z f(x) podle dx. Zastavte si video a zkuste si to vyřešit sami. Dobře, pojďme na to společně. Tak jdeme z mínus dvou do jedné a tady musíme být trošku opatrní. Určitý integrál můžete chápat jako plochu pod… pod funkcí a nad osou x, ale tady je funkce pod osou x. Takže, co s tím můžeme udělat, je, že zjistíme tuhle plochu, jen tím, co víme z geometrie, a potom si musíme uvědomit, že tohle bude záporná hodnota určitého integrálu, protože naše funkce je pod osou x. Tak kolik je tahle plocha? No, je víc způsobů, jak o tom přemýšlet. Mohli bychom si to rozdělit do vícero tvarů. Mohli byste v tom vidět lichoběžník nebo to můžete rozdělit na obdélník a dva trojúhelníky. Takže pokud to rozdělíte takhle, tenhle trojúhelník má obsah jeden krát dva krát jedna polovina. Takže to má obsah jedna. Tenhle obdélník má obsah dva krát jedna, takže má obsah dva. A tenhle trojúhelník má stejný obsah jako ten první. Bude mít základnu jedna, výšku dvě, tedy to bude dva krát jedna polovina. Pozor, obsah trojúhelníku je polovina základny krát výška. Takže je to jedna. Když ty obsahy sečtete: jedna plus dva plus jedna jsou čtyři. Mohli byste být v pokušení říct: tak to bude rovno čtyřem. Ale nezapomeňte, že naše funkce je pod osou x, takže to bude mínus čtyři. Dobře, pustíme se do dalšího. Tak teď půjdeme od jedné do čtyř z f od x podle dx. Zastavte si video a pokuste se ho vyřešit sami. Takže půjdeme odsud sem, a tak to bude tahle plocha. Jak ji určíme? No, je to jen vzorec pro obsah trojúhelníku, základna krát výška krát jedna polovina. Nebo byste mohli říct jedna polovina krát základna, což je délka… podívejte, máme základnu o délce tři, jdeme z jedné do čtyř, takže jedna polovina krát tři krát výška, což je jedna, dva, tři, čtyři, krát čtyři. No a to nám dá šest. Tak, a poslední zadání. Pokud jdeme od čtyř do šesti z f(x) podle dx. Takže to bude tahle plocha, ale musíme být opatrní. Naše funkce je pod osou x, takže určíme tuhle plochu a ta potom bude záporná. Takže tohle je polovina kruhu o poloměru jedna, a tedy plocha tohoto kruhu je pí krát r na druhou, to znamená pí krát jedna na druhou. To by byla plocha, kdybychom to vzali takhle, ale tohle je jen polovina toho kruhu, takže děleno dvěma. A protože ta plocha je nad grafem funkce a pod osou x, bude to záporně vzaté. Tak to bude rovno mínus pí děleno dvěma. A máme hotovo.