Integrace per partes: určitý integrál

V tomto videu spočítáme určitý integrál od 0 do π z funkce x krát cos(x) dx. Jako vždy, stopněte si video a zkuste si příklad vyřešit sami. Při prvním pohledu nemusí být jasné, jak najít primitivní funkci a spočítat její hodnoty v π a 0. Takže asi musíme použít trochu složitější postup. Většinou při součinu funkcí, kde jednu je lehké integrovat, jako například kosinus, druhá má zase derivaci, která je jednodušší, jako třeba x, derivace je 1. To je dobré znamení, že bychom měli použít integraci per partes. Připomeňme si, jak se integruje per partes. Integrace per partes, napíšu to tady. Pokud mám integrál, zapíšu to jako neurčitý integrál, my chceme najít neurčitý integrál a vyčíslit ho v π a 0. Mám f(x) krát g(x) s čárkou dx. To je rovno… Dokázali jsme to v jiných videích, vychází to z pravidla o derivaci součinu. Je to rovno f(x) krát g(x) minus f(x) s čárkou krát g(x) dx. Pro zopakování, chceme najít f(x) takové, že jeho derivace je jednodušší, a naopak takové g(x) s čárkou, že jeho primitivní funkce nebude složitější. Nechceme to zkomplikovat. Pokud f(x) bude po zderivování jednodušší, a primitivní funkce od g(x) s čárkou nebude složitější, pak u výsledného výrazu bude mnohem lehčí najít primitivní funkci. Tak to tady uděláme. Derivace které funkce je jednodušší, kosinu nebo x? Derivace x je prostě 1, takže to bude moje f(x), napíšu to sem. V tom případě je f(x) s čárkou rovno 1, a jak potom vypadá g(x) s čárkou? Máme, že g(x) s čárkou je primitivní funkce od cos(x), není to složitější. Primitivní funkce od kosinu je sinus. Takže to bude g(x) s čárkou. g(x) s čárkou je rovno cos(x), takže g(x) je rovno primitivní funkce od cos(x), takže sin(x). Lze se na to podívat obráceně, že derivace sinu je kosinus. Asi vás napadne, kde je konstanta C? Ale vzpomeňte si, že počítáme určitý integrál, takže ty konstanty se požerou. Koukněme se na to. Použijeme integraci per partes. V tomto případě bude tohle rovno… Skočím sem. Je to rovno f(x) krát g(x). f(x) je x a g(x) je sin(x), f(x) krát g(x) minus integrál z f(x) s čárkou, což je prostě 1. Zapíšeme to jako 1 krát g(x), g(x) je sin(x), takže to zapíšeme takhle. 1 krát sin(x) je prostě sin(x), takhle to bude jednodušší, sin(x) dx. A jelikož se jedná o určitý integrál, tak musíme spočítat rozdíl hodnot v π a 0. Co je neurčitý integrál, neboli primitivní funkce, ze sin(x) dx? Víme, že derivace kosinu je −sinus. Dáme znaménko minus dovnitř integrálu, takže máme plus integrál z −sin(x). Pak je jasné, že primitivní funkce je cos(x), takže tohle bude cos(x). Nyní to musíme vyčíslit v koncových bodech. Nejdříve to spočítáme v π. Je to rovno π krát sin(π) plus cos(π), od toho odečteme to stejné v 0, udělám to jinou barvou. To je 0 krát sin(0) plus cos(0). sin(π) je prostě 0, takže tohle zmizí. cos(π) je −1, pak toto je 0 a cos(0) je 1, takže máme −1 minus 1, což je celkově −2. A máme hotovo! Pomocí integrace per partes jsme spočítali určitý integrál.