Funkce se stejnou limitou v nevlastním bodě

Cílem tohoto videa je ukázat si, že existuje nekonečně mnoho funkcí, které mají stejnou limitu pro x jdoucí do nekonečna. Řekněme, že limita nějaké funkce f(x) pro x jdoucí do nekonečna se rovná 3. V tomto videu si ukážeme pár příkladů takových funkcí. Tím také zjistíme, že takových funkcí může být opravdu hodně, dokonce nekonečně mnoho funkcí, pro které to platí. Například se můžeme podívat na graf této funkce. V jiných videích si ukážeme, proč je zrovna tento příklad ten správný. Nyní se jen podívejme, co se stane, když budeme uvažovat velmi velká x. Když budeme mít velmi velká x, plus 5 výsledek prakticky nezmění. Proto se dostaneme blíže a blíže k (3 krát x na druhou) lomeno x na druhou, což se rovná 3. Tady napravo je zeleně vyznačen graf této funkce. Jak je vidět, už když je x rovno 10, tak se dostaneme velmi blízko ke 3. Přerušovanou čárou označme asymptotu y rovná se 3. Je vidět, jak se k ní funkce s x jdoucím do nekonečna dostává blíže a blíže. Avšak nejde o jedinou funkci, pro kterou to platí. Jak jsme si řekli, je jich nekonečně mnoho. Zkusme tuto divočejší funkci, která obsahuje přirozený logaritmus. I ta se pro x jdoucí do nekonečna blíží k hodnotě 3. Sice se bude blížit pomaleji než zelená funkce, ale my mluvíme o nekonečnu. A pro x jdoucí do nekonečna se to blíží ke 3. Jak bylo řečeno v jiných videích, existují i funkce, které kmitají okolo asymptoty, a přitom se k ní postupně přibližují, jak se x čím dál tím víc zvětšuje. Příkladem je třeba tato funkce. Trochu si to přibližme. Podívejme se blíže na bod x rovno 14. Vidíme, že všechny tři funkce jsou blízko hodnoty 3. Fialová kolem ní kmitá, zbylé dvě se k ní blíží zespoda. Podívejme se však na nějaké opravdu velké x. Ani 100 není zase tak velké číslo, když jdeme do nekonečna. Ani bilion není tak velké číslo, když jdeme do nekonečna, ale zkusme například x rovno 200, protože 200 je mnohem větší než čísla, na která jsme se zatím dívali. Až když se podíváme na bod x rovno 200 velmi, ale opravdu velmi zblízka, tak uvidíme, že grafy se od asymptoty stále trochu liší. Podívejte se, jak moc jsme si graf přiblížili. Každý dílek má délku jedna setina. Takže jsme se k asymptotě dostali mnohem blíž. Zelená funkce dokonce stále vypadá totožná s asymptotou. Tady vidíte souřadnice bodů s přesností na 3 nebo 4 desetinná místa. Sice jsme se dostali velmi blízko, ale ne úplně. Zelený graf se tedy z daných grafů blíží nejrychleji. Cílem však bylo ukázat, že je nekonečně mnoho funkcí s vlastností, že limita funkce pro x jdoucí do nekonečna je rovna 3. Číslo 3 jsem zvolil náhodně, ale toto tvrzení platí pro libovolné reálné číslo. Vraťme se nyní zpátky do počátku. Limita těchto 3 funkcí pro x jdoucí do nekonečna je rovna 3.