Nevlastní limity a asymptoty

V tomto videu použijeme grafickou online kalkulačku Desmos k tomu, abychom objevili vztahy mezi vodorovnými a svislými asymptotami a našli nějaké souvislosti s tím, co víme o limitách. Znázorněme si nejprve graf funkce 2 lomeno (x minus 1). Hned si můžeme všimnout, že v bodě x rovno 1 se děje něco zajímavého. Pokud do předpisu naší funkce za x dosadíme 1, obdržíme výraz 2 děleno 0. Kdykoliv vám vyjde nenulové číslo dělené nulou, tak je dost možné, že máte co do činění se svislou asymptotou. V našem případě si tuto svislou asymptotu v bodě x rovno 1 můžeme nakreslit. Zamysleme se nad tím, jak to souvisí s limitami. Co kdybychom chtěli určit limitu pro x blížící se k 1 z funkce f(x) rovná se 2 lomeno (x minus 1)? Můžeme si spočítat limitu zleva a limitu zprava. Když se k 1 blížíme zleva... trochu si to tu přiblížím... Vidíme, že jak se blížíme zleva... Když je x rovno 0, funkce nabývá hodnoty −2. Když je x rovno 0,5, funkce nabývá hodnoty −4, a jak jsme zleva čím dál tím blíže k 1, dostáváme zápornější a zápornější čísla. Pokud za x dosadíme 0,91, což je pořád o 9 setin méně než 1, tak už dostaneme hodnotu -22,222, a tak limita pro x blížící se k 1 zleva nabývá neomezeně velké záporné hodnoty. Někdo by řekl, že je to minus nekonečno, ale jde spíše o nedefinovanou limitu, nabývá neomezeně velkých záporných hodnot. Podobně se podíváme na to, jak se blížíme zprava. Zjistíme, že funkce nabývá neomezeně velkých kladných hodnot. Technicky vzato tak řekneme, že tato limita neexistuje. Tohle byl tedy případ, kdy pracujeme se svislou asymptotou, jak vidíme zde. Když to nyní porovnáme s vodorovnou asymptotou, tak zjistíme, že limita klidně může existovat. Podívejme se na tuto funkci, což je poměrně pěkná funkce, vytvořil jsem ji přímo před tímto videem a myslím, že vypadá docela hezky. Zkoumejme její chování pro x jdoucí do nekonečna. Když jde x do nekonečna, tak to vypadá, že hodnota y, tedy hodnota našeho výrazu, kdybychom ho označili jako y, vypadá to, že je čím dál tím blíž ke 3. Proto můžeme říci, že funkce má vodorovnou asymptotu y rovná se 3. Matematicky řečeno je limita funkce pro x jdoucí do nekonečna rovna 3. Všimněme si, jak se se zvětšujícím se x blížíme ke 3. Ve skutečnosti se dostáváme tak blízko, že... vidíme, že se dostáváme blíže a blíže ke 3. Můžeme si také rozmyslet, co se stane, pokud se x bude blížit k minus nekonečnu. Funkce se také bude blížit k hodnotě 3, a to zespoda. Na vodorovné asymptotě je zajímavé to, že ji funkce může protnout. Tady uprostřed ji funkce protíná. A když se blížíme k plus nebo minus nekonečnu, funkce okolo vodorovné asymptoty může kmitat. Toho lze docílit například vynásobení funkce sinem. Funkce nyní kmitá okolo vodorovné asymptoty. Připomeňme, že tato limita může existovat, i když vodorovnou asymptotu protínáme mnohokrát, stále se více a více blížíme k hodnotě 3. To je hlavní rozdíl mezi vodorovnou a svislou asymptotou. Jelikož pracujeme s funkcemi, svislá asymptota nemůže být protnuta. Vodorovnou asymptotu funkce protnout může, přičemž se k této asymptotě s x jdoucím do plus nebo minus nekonečna stále víc blíží.