Derivování racionálních funkcí

Nechť y je rovno 5 minus 3x, to celé lomeno x na druhou plus 3x. Chceme spočítat, kolik je derivace y podle x. Všimněme si, že y je podílem dvou výrazů, tedy racionální funkcí. Dané výrazy můžeme vidět jako dvě funkce. První označíme jako u(x) a druhou v(x). Proto derivace y je vlastně derivací podílu dvou funkcí. A tak použijeme pravidlo o derivaci podílu. Nezapomeňme, že pravidlo o derivaci podílu lze zjistit z pravidla o derivaci součinu, které je snáze zapamatovatelné. Použijme nyní pravidlo o derivaci podílu na nalezení derivace y podle x. Máme derivaci u(x) krát v(x) minus u(x) krát derivace v(x) a to celé je vyděleno v(x) na druhou. Nyní stačí zjistit derivace u(x) a v(x), a pak vše dosadit do výrazu. Derivace u(x), tedy 5 minus 3x, je rovna derivace 5, což je 0, derivace -3x je -3. Pokud je to nejasné, pak je vhodné si připomenout pravidla pro derivování, speciálně pravidlo o derivaci mocninné funkce. Nyní vypočítejme derivaci v(x). Nejprve zderivujme x na druhou. Vyndáme 2 ven a získáme x na první. Takže 2x. A konečně, derivace 3x je 3. Celkem máme 2x plus 3. Nyní již zbývá provést dosazení do výrazu. Derivace u(x) je −3. v(x) je x na druhou plus 3. u(x) je 5 minus 3x. Derivace v(x) je 2x plus 3. Nakonec zde za v(x) dosaďme x na druhou plus 3x. Co jsme získali? Trochu to upravíme. Nejprve tuto část. Roznásobme −3 krát (součet x na druhou a 3x). Což je −3x na druhou minus 9x. Od toho odečtěme součin těchto dvou výrazů. Roznásobením dostaneme 10x plus 15 minus (6x na druhou) minus 9x. Zjednodušme výraz odečtením 10x a 9x, což je x. Podívejme se na jmenovatel. Můžeme roznásobit, ale nechme ho v tomto tvaru, druhá mocnina x na druhou plus 3x. Zjednodušme výraz ještě o kousek. V čitateli je −3x na druhou minus 9x minus x minus 15 plus 6x na druhou. A ve jmenovateli pak je druhá mocnina součtu x na druhou a 3x. Nakonec zjednodušme čitatel. −3x na druhou plus 6x na druhou je 3x na druhou. A dále, −9x minus x je −10x. A nakonec máme −15. Celkem tedy máme 3x na druhou minus 10x minus 15 a to celé děleno druhá mocnina ze součtu x na druhou a 3x. A jsme hotovi.