Normála k y=𝑒ˣ/x²

Máme funkci f(x) rovná se (e na x) lomeno (x na druhou). V tomto videu bych chtěl nalézt rovnici ne tečny, ale normály v bodě x rovno 1. Zajímá nás tedy rovnice normály. Zastavte si video a pokuste se o to nejprve sami. Drobnou nápovědou je, že směrnice normály je rovna minus převrácené hodnotě směrnice tečny. Když máme nějakou křivku a chceme k ní najít tečnu v daném bodě, tak to vypadá nějak takhle. Normála je kolmá k tečně. Toto je tečna a normála k ní musí být kolmá, takže bude vypadat takto. Pokud má tečna směrnici m, normála má směrnici −1 lomeno m. S touto nápovědou teď zkuste najít rovnici normály k této křivce v bodě x rovno 1. Nejprve nalezněme směrnici tečny a pak pomocí její minus převrácené hodnoty najdeme i směrnici normály. Směrnici tečny najdeme tak, že spočítáme derivaci f(x) pro x rovno 1. Takže f s čárkou v bodě x... Nejdřív si to trochu přepíšu. f(x) si přepišme jako (e na x) krát (x na minus druhou). Raději to přepisuji takhle, protože vždy zapomínám derivaci podílu, mnohem raději derivuji mocniny, což nyní mohu udělat... Pardon, ne derivace mocniny, ale derivace součinu, nyní mohu použít derivaci součinu místo derivace podílu. Derivace f(x) se rovná derivaci e na x, což je zase jen e na x, krát x na minus druhou, k čemuž přičteme (e na x) krát derivace x na minus druhou, která se rovná -2 krát x na minus třetí. Tady jsem jen použil vzorec pro derivaci mocniny. Když chceme derivaci v bodě 1, tak to bude… Udělám to žlutou barvou, protože rád měním barvy. ...bude to e na prvou, což je e, krát 1 na minus druhou, což je 1, plus e na prvou, což je e, krát −2 krát 1 na minus třetí, což je −2 krát 1, tedy e krát -2. Napíšu to takhle. Napíšu to jako minus 2 krát e. e minus 2 krát e se rovná −e. Tím jsme dostali směrnici tečny. Pro nalezení směrnice normály spočítáme minus převrácenou hodnotu směrnice tečny. Převrácená hodnota je minus 1 lomeno −e a ještě k tomu chceme opačnou hodnotu, takže celkem máme 1 lomeno e, taková bude směrnice normály. My ale nechceme jenom směrnici normály, chceme rovnici normály. Víme, že rovnice přímky může mít tvar y rovná se m krát x plus b, kde m je směrnice, takže y je rovno (1 lomeno e) krát x plus b. K nalezení b využijeme toho, že známe bod, kterým normála prochází. Normála prochází bodem s x-ovou souřadnicí 1. Když je x rovno 1, čemu se pak rovná y? y bude (e na prvou) lomeno 1, což je e. Normála tak prochází bodem [1;e]. Víme tedy, že když je x rovno 1, y je rovno e. Teď už jen dopočítáme b. Máme tu, že e se rovná (1 lomeno e) plus b. Nyní můžeme od obou stran odečíst 1 lomeno e, čímž dostaneme, že b se rovná e minus (1 lomeno e). Pokud chceme, můžeme to napsat jako e na druhou minus 1, to celé lomeno e, ale můžeme to nechat takto. Rovnice normály tedy bude y rovná se (1 lomeno e) krát x plus b, kde b je e minus (1 lomeno e). Tohle je tedy hledaná rovnice normály.