Příklad: pravidlo o derivaci součinu implicitní a explicitní funkce

Mějme funkci f takovou, že f(−1) je rovno 3 a derivace f(−1) je rovna 5. Zároveň g(x) je funkce definovaná jako 1 lomeno x. Nakonec F je funkce definovaná jako součin f a g. Kolik je derivace F(−1)? Použijeme pravidlo o derivaci součinu. Nejprve si ho připomeneme. Derivace F(x) se rovná derivace f(x) krát g(x) plus f(x) krát derivace g(x). Pro x rovno −1 dostaneme následující. Derivace F(−1) je rovna derivaci f(−1) krát g(−1) plus f(−1) krát derivace g(−1). Což už můžeme vypočítat. Víme tuto hodnotu? Víme, je rovna 5. Zároveň o f(−1) víme, že je rovno 3. Nyní zjistěme g(−1) a derivaci g(−1). Tyto hodnoty zde nemáme zadané. Z předpisu funkce g dostaneme, že g(−1) je rovno −1. Nakonec vypočítejme derivaci g(−1) z derivace g(x). g(x) můžeme také psát jako x na -1. Nyní použijeme pravidlo o derivaci mocninné funkce. Dostaneme, že derivace g(x) je rovna −1 krát x na -2. Tedy derivace g(−1) je rovna −1 krát −1 na −2. Což je stejné jako −1 lomeno −1 na druhou. Tohle je 1, tedy celkem dostaneme −1. Dohromady máme 5 krát −1 plus 3 krát −1. Což je −8. Proto je derivace F(−1) rovna −8.