Hlavní obsah

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4

Lekce 1: Význam derivací v praktických úlohách

Praktické úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin

Celý diferenciální počet je o okamžité změně nějaké veličiny. Podívejme se, jak to lze využít k řešení příkladů ze světa kolem nás.

Jeden ze způsobů, jak se dívat na derivaci

f^{'}

funkce

f

, je ten, že

f^{'} (k)

je okamžitá rychlost změny hodnoty funkce

f

v bodě

x = k

. Podívejme se, jak tento pohled můžeme využít k řešení slovních úloh.

Barel na vodu je naplňován vodou. Objem vody v litrech, který je v barelu po

t

sekundách, je dán lineární funkcí

V_{1} (t) = \frac{2}{3} t

Sklon funkce, v našem případě

\frac{2}{3}

, představuje rychlost změny jejích hodnot. Jinak řečeno, barel je naplňován vodou rychlostí

\frac{2}{3}

litru za sekundu.

Rychlost změny hodnoty lineární funkce je vždy konstantní, takže se s ní dobře pracuje.

Teď si představme, že naplňujeme jiný barel a objem je tentokrát daný nelineární funkcí

V_{2} (t) = 0, 1 t^{2}

Všimni si, že graf roste nejdříve pozvolna a ke konci roste prudčeji. Rychlost změny hodnot funkce

V_{2}

není konstantní.

Kdybychom chtěli mluvit o rychlosti změny hodnoty funkce

V_{2}

, můžeme mluvit o okamžité rychlosti změny v jakémkoli daném čase. Okamžitá rychlost změny funkční hodnoty je daná derivací příslušné funkce.

V_{2}^{'} (t) = 0, 2 t

Například

V_{2}^{'} (5) = 1

. Matematicky to znamená, že směrnice tečny ke grafu funkce

V_{2}

v bodě

x = 5

1

. Co to znamená pro náš barel vody?

Směrnice tečny představuje sklon křivky v daném čase. Jelikož už víme, jak nám sklon udává rychlost změny, rovnost

V_{2}^{'} (5) = 1

můžeme vysvětlit takto:

V čase $t = 5$ ‍ sekund je barel naplňován rychlostí $1$ ‍ litr za sekundu.

Všimni si několika věcí:

Zaprvé, rychlost změny je v litrech za sekundu. Jednotka derivace je vždy podíl závislé veličiny (zde litry) ku nezávislé veličině (zde sekundy).

Zadruhé, rychlost změny je daná v jednom konkrétním čase (zde

t = 5

sekund). Jde totiž o okamžitou rychlost změny. Když vezmeme jiný bod v čase, rychlost změny bude jiná. Když nás bude zajímat časový interval, rychlost změny na něm nebude konstantní.

Příklad 1.A

V tomto příkladu nás bude zajímat následující situace:

Linda jde ze školy domů. Její vzdálenost od školy v metrech po $t$ ‍ minutách chůze je popsaná diferencovatelnou funkcí $D$ ‍.

V jakých jednotkách bude $D^{'} (t)$ ‍?

Příklad 2

H

udává výšku stromu v centimetrech

t

týdnů po jeho vysazení.

Čtyři studenti měli za úkol vysvětlit význam rovnosti

H^{'} (5) = 3

pro toto zadání.

Dokážeš spojit komentář učitele s vysvětlením studentů?

1

Častá chyba: zapomenutí jednotek nebo použití nesprávných jednotek

Pamatuj si: Když řešíme slovní úlohy, musíme vždy uvádět jednotky.

Například v Příkladu 2 je proměnnou funkce

H

čas měřený v týdnech a její hodnoty jsou v centimetrech. Derivace

H^{'}

je také funkcí času měřeného v týdnech, ale její hodnoty jsou v centimetrech za týden.

Další častá chyba: mluvení o změně "v časovém intervalu" místo "v jednu konkrétní chvíli".

Derivace je okamžitá rychlost změny. Když mluvíme o rychlosti změny hodnot nějaké funkce a používáme při tom derivaci, měli bychom vždy říct, že jde o rychlost změny v jednu konkrétní chvíli.

Řešení příkladů s okamžitou rychlostí změny

Máme následující příklad:

Karel si vzal první dávku předepsaného léku. Množství léku v miligramech v Karlově krevním oběhu po $t$ ‍ hodinách je dáno následující funkcí:

$M (t) = 20 \cdot e^{^{- 0, 8 t}}$ ‍

Jaká je okamžitá rychlost změny zbývajícího množství léku v Karlově krevním oběhu po $1$ ‍ hodině?

První věc, co by nás po přečtení zadání měla napadnout, je, že se nás ptají na okamžitou rychlost změny množství léku. To znamená, že musíme použít derivaci.

Jediná funkce, jejíž derivaci můžeme použít, je

M

, ale ujistěme se, že to je skutečně to, co chceme:

M

udává množství léku v Karlově krevním oběhu za čas a nás se ptají na okamžitou rychlost změny tohoto množství. Takže ano, potřebujeme spočítat

M^{'}

M^{'} (t) = - 16 \cdot e^{- 0, 8 t}

Máme zjistit okamžitou rychlost změny po $1$ ‍ hodině, což znamená, že funkci

M^{'}

musíme vyčíslit v bodě

t = 1

M^{'} (1) = - 16 \cdot e^{- 0, 8} \approx - 7, 2

A nakonec nesmíme zapomenout na jednotky. Jelikož

M

udává množství miligramů léku pro daný čas v hodinách,

M^{'}

bude v miligramech za hodinu.

Závěrem je, že okamžitá rychlost změny zbývajícího množství léku v Karlově krevním oběhu po

1

hodině je $- 7, 2$ ‍ miligramů za hodinu.

Příklad 3

Funkce

C

udává, kolik korun stojí skartování

w

kilogramů důvěrných dokumentů jedné firmy.

C (w) = 0,001 w^{3} - 0, 15 w^{2} + 7, 5 w

Jaká je okamžitá rychlost změny nákladů na skartování, když dokumenty váží $10$ ‍ kilogramů?

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Častá chyba: vyčíslení původní funkce místo její derivace

Pamatuj si: Když nás zajímá okamžitá rychlost změny hodnoty funkce

f

, tak se musíme podívat na její derivaci

f^{'}

. Vyčíslení funkce

f

v daném bodě nám nedá žádnou informaci o rychlosti změny hodnoty funkce

f

v tomto bodě.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.