Úvod do otočení

Abychom viděli, co je otočení, posunuj bod na posuvníku ze strany na stranu. Uvidíš, jak se druhý bod otáčí okolo středu $P$‍.

Dobře! Otočil jsi bod. Otočení v geometrii otáčí útvary okolo daného středu. Všimni si, že vzdálenost otáčeného bodu od středu zůstává stejná, mění se pouze jeho poloha.

Pohybuj bodem na posuvníku ke znázornění toho, jak se čtverec otáčí okolo jednoho ze svých vrcholů.

Všimni si, jak strany čtverce mění směr, ale základní tvar zůstává stejný. Otočení nezkreslují tvary, pouze jimi otáčejí. Navíc si všimni toho, jak se vrchol čtverce, který je ve středu, nepohybuje vůbec.

Teď, když víme, co jsou otočení je, se pojďme naučit, jak je používat přesněji.

Každé otočení je určena dvěma důležitými parametry: středem otočení—o tom už jsme mluvili—a úhlem otočení. Úhel otočení určuje o kolik musíme otočit rovinu kolem středu.

Například můžeme říct, že $A^{\prime }$‍ je výsledkem otočení bodu $A$‍ okolo středu $P$‍. Ale to není dostatečně přesné.

Abychom určili velikost úhlu otočení, podíváme se na úhel mezi úsečkami $\overline{PA}$‍ a $\overline{P{A}^{\prime }}$‍.

Takto můžeme říct, že $A^{\prime }$‍ je výsledkem otočení bodu $A$‍ o 45${}^{\circ }$‍ okolo středu $P$‍.

Zpravidla platí, že kladná velikost úhlu vyjadřuje rotaci proti směru hodinových ručiček. Pokud chceme vyjádřit rotaci po směru hodinových ručiček, použijeme zápornou velikost úhlu.

Například tady je výsledek otočení bodu o –30${}^{\circ }$‍ okolo středu $P$‍.

Neexistuje žádný přesvědčivý důvod, proč určujeme rotaci po a proti směru hodinových ručiček tímto způsobem, ale důležité je, že pro vyjádření otočení máme dohodnutý systém.

Pro jakékoli zobrazení máme vzor, tedy útvar, který zobrazujeme, a jeho obraz, tedy výsledek zobrazení. Například v našem otočení byl vzorem bod $A$‍ a jeho obraz byl bod $A^{\prime }$‍.

Všimni si, že uvádíme obraz jako $A^{\prime }$‍—čti A s čárkou. Je běžné, že když pracujeme se zobrazeními, používáme stejné písmeno pro vzor i jeho obraz; jenom jednoduše přidáme čárku k písmenu, které označuje obraz.

$R$‍, $S$‍ a $T$‍ jsou obrazy bodu $Q$‍ pod jiným úhlem otočení.

Úsečka $\overline{C^{\prime }{D}^{\prime }}$‍ je výsledkem otočení úsečky $\overline{CD}$‍ proti směru hodinových ručiček okolo středu $P$‍.