Důkaz rovnice pro výstřednost hyperboly

Minule jsme se bavili o ohniscích hyperboly a já jsem vám slíbila, že si dokážeme jednu věc. A to tu, že když máme hyperbolu zadanou touto rovnicí, máme tady vlastně hyperbolu se středem v počátku soustavy souřadnic a má tuto rovnici: x na druhou lomeno a na druhou minus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedné. Tak, že výstřednost, excentricita hyperboly, se spočítá takto: e na druhou je rovno a na druhou plus b na druhou. A my si to dneska dokážeme. Bude to poněkud dlouhé a poněkud náročné. Tak se v klidu a pohodlně posaďte a půjdeme na to. Jenom zopakuji, že toto bude hyperbola, která se bude otvírat doleva a doprava, jakoby podél osy x, bude mít hlavní osu rovnoběžnou s osou x, protože je kladný ten člen s x. Kdyby byl kladný ten člen s y, otevírala by se nahoru a dolů, hlavní osa rovnoběžná s osou y, takže by se nám vlastně ta hyperbola jakoby otevírala podél osy y. Pojďme si to jenom rychle ukázat graficky, o jakou hyperbolu se tady jedná. Takže. Osa x a y, nakreslíme si tu nějaké asymptoty, ty jsou zadané jako plus minus b lomeno a, to celé krát x. A teď si načrtneme tu hyperbolu. Bude vypadat nějak takto, těch asymptot se nikdy nedotkne. Omluvte mé črtání, nějak takto. Takže tady máme vrcholy, u kterých už víme, že mají souřadnice a a 0 a minus a a 0. A máme tady, je to vlastně délka té hlavní poloosy, takže vlastně toto celé má délku dvě a. Tady je a a tady je a, vzdálenost vrcholu od středu hyperboly. A pak máme někde ta ohniska, tady bude ohnisko E a tady bude ohnisko F. A už jsme řekli, že to e je ta excentricita, neboli výstřednost, tedy vzdálenost ohniska od středu, takže ta ohniska budou mít souřadnice e a nula a minus e a nula. A už jsme si také říkali definici hyperboly. Hyperbola je vlastně množina bodů, které mají od dvou pevně daných bodů, od těch dvou našich ohnisek, konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností. Trošku dlouhé, jenom to rychle zopakuji. Mám tady nějaký bod na té mojí hyperbole, třeba tady, tady je bod x, který bude mít souřadnice x a y. A když já si vezmu vzdálenost toho bodu od jednoho ohniska a od druhého ohniska a odečtu je od sebe, samozřejmě v absolutní hodnotě, ať nedostanu zápornou hodnotu, nevím, která ta vzdálenost je větší, a která je menší. A pak si vezmu bod kdekoliv jinde, třeba tady ten vrchol, a zase si najdu vzdálenosti od těch dvou ohnisek a odečtu je od sebe a spočítám si absolutní hodnotu, tak to bude stále jedna a ta konstantní hodnota. A ještě k tomu víme jednu věc, že |XE|, ta vzdálenost bodu X od bodu E, minus |XF|, ten rozdíl těch vzdáleností, ta absolutní hodnota, je vždy rovna dvě a, tedy tady této vzdálenosti, to už jsme si taky říkali. A my teď využijeme tohoto, abychom si dokázali toto. Pustíme se tedy do toho. Jak si spočítáme tyto dvě věci? Vzdálenost bodu X od bodu E a od bodu F. Vzdálenost dvou bodů je vlastně jenom využití Pythagorovy věty. My tady teď zanedbáme tu absolutní hodnotu, protože vidíme tady z našeho obrázku, když tady vezmeme konkrétní bod X, že ta vzdálenost |XE| je delší, takže správně odečítáme menší od většího. Nevíme vždycky co od čeho odečteme, proto používáme tu absolutní hodnotu. Nevím, jestli jsem neřekla, že odečteme větší od menšího. Ale vy jste to určitě pochopili. Takže zanedbáme absolutní hodnotu a necháme si jenom to v té absolutní hodnotě, ať se nám s tím lépe počítá. Co je to vlastně vzdálenost bodu X od bodu E? Pythagorova věta, představím si pravoúhlý trojúhelník, tohle to je přepona, tady bych měla dvě odvěsny. Délka přepony je rovna odmocnině součtu druhých mocnin délek odvěsen. Takže o kolik se tady posunu u x? Jdu od minus e po x, takže tady vlastně bude x minus minus e, to celé na druhou, plus, posunu se u y od nuly do y, takže y minus 0, to celé na druhu, takže vlastně jenom y na druhou, to bude celé pod odmocninou, jak už jsem řekla, to je to |XE|. Minus |XF| bude hodně obdobné, zase to bude odmocnina a tentokrát to bude, jsme tady, takže u x jdu od e po x, takže to je x minus e, to celé na druhou. A u y jdu stejně, od nuly do y, takže to bude stejné jako tady, plus y na druhou, to celé je rovno 2a. Jdeme dál, převedla bych si toto na druhou stranu. K tomu dvě a a tohle to opíšu, respektive tady si to jenom lehce upravím, x plus e, to celé na druhou, plus y na druhou, je rovno 2a plus, a teď ta celá odmocnina, x minus e, to celé na druhou, plus y na druhou. Já si to posunu. Co teď dál s tím? Já bych si obě dvě ty strany té rovnice umocnila na druhou, ať se zbavíme trošku nějakých těch odmocnin. Nalevo dostanu to, co mám pod tou odmocninou. Budu psát sem, ať se mi to tu vejde. X plus e, to celé na druhou, plus y na druhou, to je rovno... A napravo mám vlastně a plus b, to celé na druhou, nemůžu jenom vynásobit ty dva členy na druhou, na to máme vzoreček, který si určitě pamatujeme, a plus b na druhou, to je rovno a na druhou plus dvě ab plus b na druhou, tedy ten první člen na druhou, 4a na druhou, plus dvakrát první člen krát druhý člen, tedy 4a krát odmocnina x minus e na druhou plus y na druhou, plus ten druhý člen na druhou, takže to je jenom to, co je pod tou odmocninou. Tak. Takto, já to dopíšu. Výborně. Stále to vypadá škaredě, ale někam jsme se posunuli, protože aha, tady máme něco na obou dvou stranách stejné, tedy y na druhou, to můžeme s chutí vyhodit, takže nám na levé straně zbyde jenom toto, můžeme si to roznásobit. To je zase a plus b na druhou, jak už jsem říkala, takže to bude x na druhou plus 2xe plus e na druhou. A na pravé straně dostanu, 4a na druhou si opíšu, tohle to si taky opíšu a tohle to zase roznásobím. To je tentokrát a minus b na druhou, takže tady bude x na druhou minus 2xe plus e na druhou. A zase vidím, že už se můžu hned něčeho zbavit. Tady mám x na druhou a x na druhou, tady mám e na druhou a e na druhou. Výborně. A ještě udělám jednu rychlou úpravu, ať to neopisujeme milionkrát. Já bych chtěla toto 2xe převést tady na tuto stranu. Takže k oběma stranám rovnice přečtu 2xe. A tady mi tedy zbyde 4xe je rovno 4a na druhou plus 4a krát celá tady tato věc pod tou odmocninou. Co dál s tím teď? Já navrhuji, abychom toto převedli nalevo a tady to si můžeme rozepsat, takže 4xe minus 4a na druhou je rovno 4a a pak ta odmocnina, já to roznásobím, x na druhou minus dvě xe plus e na druhou plus y na druhou. Doufám, že to je ještě stále čitelné, pokusím se psát pořádně. Co teď? Vidím tady čtyřky, vydělím to celé čtyřmi, takže tady bude xe minus a na druhou je rovno a krát tady ta celá věc. Výborně. Tak co teď? Chci se zbavit už konečně té odmocniny, takže to oboje umocníme na druhou, zase stále ten stejný vzoreček, a minus b na druhu, takže to bude x na druhou e na druhou minus dva krát toto krát toto, jelikož tohle to je člen na druhou, tak půjde první, dvě a na druhou xe plus a na čtvrtou, máme tady tu levou stranu, je rovno a na druhou krát toto na druhou, což je vlastně to pod odmocninou, takže tady to opíšu, je to dlouhé, je to únavné, ale nebojte, už se někam dostáváme. Ačkoli to tak vůbec nevypadá. Taky vám to bude připadat divné, ale zkusila bych obě dvě strany rovnice vydělit a na druhou a tady se toho zbavíme na té pravé straně. Pojďme na to. X na druhou e na druhou děleno a na druhou minus, tady to se nám to akorát, tady se toho pěkně zbavíme, takže tady nám zbyde 2xe a tady zbyde plus a na druhou a tady dostaneme jenom tu závorku a tedy x na druhou minus 2xe plus e na druhou plus y na druhou. My zase vidíme, že tady můžeme něčeho se zbavit, minus 2xe na obou dvou stranách, takže nás to už nezajímá. Teď ať to neopisuji milionkrát, tak udělám pár úprav naráz. Ano? Chci si převést x na druhou a y na druhou na levou stranu a a na druhou naopak na pravou stranu. Takže vlastně odečtu od obou stran rovnice x na druhou, odečtu od obou stran rovnice y na druhou a odečtu od obou stran rovnice a na druhou, takže se pak stane to, že tady nalevo dostanu x na druhou e na druhou lomeno a na druhou minus x na druhou minus y na druhou. A tohle tu už nebude. A tady nalevo naopak nebude x na druhou a y na druhou, ale bude tu e na druhou minus a na druhou. Pokud to bylo moc rychle, vraťte si to. Nebo se na to podívejte. A vidíte, že jsem neprovedla žádnou hrůzu. Výborně. Z těch prvních dvou členů si můžeme vytknout x na druhou, e na druhou lomeno a na druhou minus jedna krát x na druhou, vytkla jsem si x na druhou, minus y na druhou, je rovno e na druhou minus a na druhou. Pojďme to celé vydělit tady tímto, taky zvláštní úprava, ale nebojte, má to svůj smysl. Takže to vydělíme e na druhou minus a na druhou, obě dvě ty strany. Uf. Takže e na druhou lomeno a na druhou minus jedna lomeno e na druhou minus a na druhou, tady máme ještě x na druhou, samozřejmě, minus y na druhou lomeno e na druhou minus a na druhou, to celé je rovno jedné. Tohle vydělím tímhle, dostanu jedničku. Co dál tady s tou hrůzyplnou věcí nalevo? Vynásobím si čitatele i jmenovatele v tom zlomku a na druhou, takže tím vlastně nezměním hodnotu toho zlomku. Tak pojďme na to. Takže vynásobím si tady čitatele a na druhou, takže dostanu vlastně e na druhou minus a na druhou, tady dostanu dole a na druhou krát celý ten jmenovatel, x na druhou minus y na druhou lomeno e na druhou minus a na druhou je rovno jedné. Tady toto se mi krásně vykrátí. Takže co mi tady zbyde? Pozor, finišujeme, pomalu ale jistě. Tady zbyde x na druhou lomeno a na druhou minus y na druhou lomeno e na druhou minus a na druhou je rovno jedné. Ta dá. To už vám asi něco připomíná, poněvadž ta rovnice té hyperboly, kterou jsme měli napsanou na začátku, je x na druhou lomeno a na druhou minus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedné. Takže x na druhou lomeno a na druhou, jednička tady taky odpovídá. A tady máme y na druhou a tady taky. A tady dole je e na druhou minus a na druhou a tady je b na druhou. Ty dvě věci jsou si rovny, takže tady můžu vlastně napsat, že e na druhou minus a na druhou je rovno b na druhou. A když si převedu a na druhou na druhou stranu, tak dostanu, že e na druhou je rovno a na druhou plus b na druhou. A ta dá, jsme tam, kde jsme chtěli být. Dokázali jsme si, opravdu, že e na druhou je rovno a na druhou plus b na druhou. Bylo to strašně dlouhé, strašně únavné a bylo tam strašně velké množství úprav. Ale dokázali jsme to společně a já myslím, že dneska už to fakt stačilo.