Ohniska hyperboly z rovnice

Dneska nás čeká zase trochu delší video. Budeme se bavit o ohniscích hyperboly. Prvně si ukážeme, jak to vypadalo s ohnisky u elipsy. Jedna z definic elipsy je totiž ta, že je to množina bodů, které mají od dvou pevně daných bodů, od těch dvou ohnisek té elipsy, konstantní součet vzdáleností. Hned si ukážeme, co tím myslím. Pokud jste to pozapomněli. Nakreslíme si nějakou elipsu. Tentokrát bude mít hlavní osu rovnoběžnou s osou x, bude taková široká a nízká. Tady někde jsou ohniska E a F. Toto je hlavní poloosa a a tohle je vedlejší poloosa b. Připomenu vzoreček elipsy, x na druhou lomeno a na druhou plus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedné. A když si vezmu jakýkoli bod na té elipse, třeba tady X, a vezmu ty vzdálenosti od těch dvou ohnisek a sečtu je, XE + XF a pak si vezmu jiný bod na té elipse, třeba tady bod Y a spočítám tu vzdálenost mezi tím bodem a těmi ohnisky, tak zjistíme, že ten součet těch vzdáleností bude vždy stejný. A ještě nesmíme zapomenout, že jsme si ukazovali, že ten součet těch vzdáleností bude roven dvě a, a je v tom vzorečku tady, je to ta délka té hlavní poloosy, takže vzdálenost toho bodu od ohniska a od druhého ohniska, ten součet, bude vždy roven dvě a. Tady máme případ, kdy ta hlavní poloosa byla rovnoběžná s osou x. V tom případě, když chceme spočítat výstřednost, to je tato vzdálenost, je to vzdálenost ohniska od středu té elipsy, tak tam máme vzoreček e na druhou je rovno a na druhou minus b na druhou, za předpokladu, že a je větší než b. V tomto případě. A můžeme to zapsat i takto. E na druhou se rovná p na druhou minus q na druhou, kdy víme, že p je vždycky ta hlavní poloosa, vždy zaznačíme tu hlavní poloosu jako p. Tohle to je vzoreček, který se dá použít pro jakoukoli elipsu, protože vždy víme, že p je ta hlavní. Není to tak, že máme a vždycky u x a b vždycky u y. Takže tohle to je druhý potenciální vzoreček. Protože se nám může stát u toho a a b, že můžeme mít elipsu, která bude tak nějak naopak oproti té první elipse a bude mít hlavní poloosu rovnoběžnou s osou y, takže bude taková vysoká a tenká, v uvozovkách, toto bude vlastně b zase, a tady toto bude a, takže tentokrát bude b větší než a. A pak by ten vzoreček pro výstřednost byl e na druhou je rovno b na druhou minus a na druhou. A proto se nám hodí i tento vzoreček p na druhou minus q na druhou. Protože nezávisle na jakékoli elipse vždycky ta hlavní poloosa by se nazývala p a ta vedlejší by se nazývala q. Tak, fajn. Ohniska vždycky leží na hlavní ose té elipsy. Pojďme si to srovnat s hyperbolou a s jejími ohnisky. Vzoreček pro hyperbolu se středem v počátku soustavy souřadnic je x na druhou lomeno a na druhou minus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedné, popřípadě jsou ty členy prohozené, to už jsme viděli. A u elipsy máme stejný vzoreček, jenom je tady plus, to už jsme si taky říkali v minulých videích, nebudu to déle rozebírat. Takže to je jedna podobnost. Asymptoty, to už jsme taky rozebírali několikrát, já to tu jenom tak rychle připomenu. Asymptoty mají vzoreček, y je rovno plus minus b lomeno a krát x. Samozřejmě za předpokladu, že máme střed v počátku soustavy souřadnic. Já když si chci načrtnout elipsu, tak musím zjistit, jestli se otvírá nahoru a dolů nebo doleva a doprava. To můžu zjistit tak, že si zkusím položit x nebo y rovno nule. V tomto případě si položíme y rovno nule a uvidíte, že nám to vyjde. Když y bude rovno nule, tak tady bude x na druhou lomeno a na druhou je rovno jedné. A tedy x na druhou bude rovno a na druhou a x bude rovno plus minus a. Takže my víme, že bod a a 0 bude ležet na naší hyperbole, a a 0. A bod minus a a 0 tam bude také ležet. Takže vidíme, že y může být rovno nule. Když si to představíme v grafu, x, y, takže y může být rovno nule. A máme tu nějaké body a a nula a minus a a 0. Když načrtnu nějaké asymptoty, nemáme nějak konkrétně zadanou hyperbolu, tak si to črtáme tak obecně, tak ty body a a nula a minus a a nula budu někde tady třeba, měly by být stejně vzdálené od počátku, protože hyperbola je souměrná podle svého středu, v tomto případě podle počátku soustavy souřadnic, ale obecně podle svého středu, takže to jsou vrcholy té naší hyperboly. A ta hyperbola potom bude, když vidíme, že jsou tady ty body, my nemůžeme protnout asymptoty, hyperbola nikdy neprotne své asymptoty, ani se jich nedotkne, takže vidíme, že ta hyperbola půjde tudy, bude se otvírat doleva a doprava. Já se ji pokusím načrtnout. Tak ona se bude těsně, těsně moc, moc, moc, blížit těm asymptotám, ale nikdy se jich nedotkne, ani v nekonečnu, prostě nikdy. Takže bude vypadat třeba nějak takto. Připomenu ještě jednu věc. Když se podíváme na elipsu, tak vzdálenost nejkrajnějších bodů na hlavní ose, tedy nějakého toho, v uvozovkách, nejlevějšího a nejpravějšího bodu je dvě a, tady jedno a, dvě a, protože to je vlastně ta hlavní poloosa, takže dvě a. Když se podíváme na hlavní osu, tady je hlavní osa hyperboly, na které leží její vrcholy, tak tady má nejlevější, nejpravější bod. A jaká je jejich vzdálenost? Tady máme minus a a 0, takže tady ta vzdálenost je a a tady ta vzdálenost a a nula od nuly, je také a. Takže celá tato vzdálenost je vlastně zase dvě a. A to je úplně obdobné jako u elipsy. Teď se podíváme na ty ohniska. Elipsa má ty ohniska, v uvozovkách, jakoby uvnitř a hyperbola je bude mít, v uvozovkách, jakoby vně. Ty ohniska, budou ležet někde tady, tady bude nějaké ohnisko E a tady bude nějaké ohnisko F. Teď se dostáváme k definici hyperboly. U elipsy to byla množina bodů, které mají od dvou pevně daných bodů, od těch dvou ohnisek, konstantní součet vzdáleností. A u hyperboly, hyperbola bude množina bodů, které mají od dvou pevně daných bodů, od těch dvou ohnisek, konstantní rozdíl vzdáleností. Nebo slušelo by se říct konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností, protože nikdy nevím, co od sebe odečítám. Takže chci vždycky kladné číslo, takže tam bude absolutní hodnota. Ukážu. Vezmu si nějaký bod na hyperbole, třeba tady nějaký bod x. Takže když si vezmu vzdálenost od ohniska F a vzdálenost od ohniska E a ty od sebe odečtu, vezmu absolutní hodnotu, takže tady to bude XE minus XF. Ale nezapomenu tam dát absolutní hodnotu. A pak si vezmu nějaký jiný bod, třeba tady, tady to bude Y. A zase si najdu vzdálenosti od ohniska E a vzdálenosti od ohniska F. A zase je od sebe odečtu. Tak, to bude úplně to samé. Takže můžu napsat, že se to rovná, YE minus YF. A další zajímavost. Opět a zase jako u elipsy. Ta absolutní hodnota rozdílu těch vzdáleností toho bodu a těch ohnisek bude opět rovna dvě a. Proč a z jakého důvodu? Hned si to ukážeme. U elipsy jsme si to ukázali tak, že jsme si vybrali tento bod a měli jsme tuto vzdálenost a potom tuto vzdálenost. A měli jsme je k sobě sečíst. A jelikož jsou ohniska souměrná podle středu elipsy, tak tato vzdálenost je stejná jako tato vzdálenost. Takže jsme vlastně sčítali tuto vzdálenost a tuto, což je celá hlavní osa elipsy. Takže dvě a, dvakrát hlavní poloosa. U hyperboly si to ukážeme obdobně. Já si vyberu zase nějaký dobrý bod, v tomto případě vrchol, jeden z vrcholů hyperboly. Takže já budu mít, teď aby to tam bylo nějak vidět, já se pokusím. Mám tady tuto vzdálenost k ohnisku F a tuto vzdálenost k ohnisku E. A já je mám od sebe odečíst. Hyperbola opět je souměrná podle svého středu, takže i ohniska jsou souměrná podle středu, takže tato vzdálenost je stejná jako tato vzdálenost. Takže já odečtu od tohoto kusu tento kus. A dostanu jenom tento kousek, který jak tady máme napsaný, je rovno 2a. A jsme zase tam. Krásně jsme si to ukázali, je to jednoduché. Ještě si ukážeme něco o výstřednosti. Výstřednost je vzdálenost ohniska a středu. U elipsy, která má rovnici, ještě jednou, pořád dokola, x na druhou lomeno a na druhou plus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedné, tak ta výstřednost je e na druhou je rovno a na druhou minus b na druhou nebo p na druhou minus q na druhou, jak už jsme si řekli. U hyperboly to bude hodně podobné. U hyperboly se rovnice liší jenom znaménkem. Takto, bude tam minus. Anebo ty členy můžou být prohozené a výstřednost bude tentokrát e na druhou je rovno ne a na druhou minus b na druhou, ale a na druhou plus b na druhou. Tohle se dá dokázat, je to poněkud delší, takže si to necháme na nějaké jiné video. Tak, jenom teď ať to víte. Rozdíl je pouze ve znaméncích. Pojďme si ukázat ještě jeden konkrétní příklad. Vím, že už je to dlouhé, to video, ale ať trošku chápete, jak by to mohlo vypadat. Já tady nechám ty vzorečky. Takže, kdybychom měli třeba hyperbolu zadanou x na druhou lomeno devíti minus y na druhou lomeno šestnácti je rovno jedné. Co teď s tím? Pojďme si rovnou zkusit spočítat tu výstřednost. To bude jednoduché. Vidíme, že e na druhou bude rovno a na druhou plus b na druhou, což je toto v tom vzorečku. Takže to je rovno 9 plus 16, což je 25. Takže e bude odmocnina z 25. To bude tedy 5, jedná se o vzdálenost, takže kladná 5. A potom bych ještě chtěla souřadnice vrcholů té hyperboly. Vidíme, že kladný je ten člen s x, takže ta hyperbola se bude jakoby otevírat podél osy x, takže doprava a doleva. Můžete si to klidně ověřit, ale můžete mi věřit. A souřadnice vrcholů jsou a a 0 a minus a a 0. Tohle to je a na druhou, odmocnina z a je tři a minus tři, takže souřadnice vrcholů budou minus 3 a 0 a 3 a 0. Ještě nám chybí, abychom si to mohli načrtnout, asymptoty. To je y je rovno plus minus b lomeno ax. Takže to je plus minus b lomeno a. Takže tady odmocnina z toho, takže to je b na druhou, takže plus minus čtyři třetiny x. Pojďme si to jenom rychle načrtnout. Osa x, osa y. Asymptota čtyři třetiny. Takže když jdu o 3 u x, jdu o 4 u y, dám tam 4, já to teda načrtnu na všechny strany, tady si udělám takové pomocné body, ať si můžu nakreslit ty asymptoty. To jsou nějaké ty naše asymptoty. Výborně. Řekli jsme, že vrcholy jsou v bodech minus 3 a nula a tři a nula, tak to je přímo tady. Tak já tedy můžu napsat, že to je vrchol A, tady toto. A tady to je vrchol B. Takže ta hyperbola bude vypadat nějak takto. Tak. A ještě si zakreslíme i ohniska, vzdálenost od středu, výstřednost, je 5. Takže tady máme ještě 5. Tady je ohnisko F. Tady je ohnisko E. Načrtli jsme si tu naši hyperbolu zadanou touto rovnicí. A kdybychom si vzali jakýkoli bod na té hyperbole, třeba tady, a spočítali si vzdálenost od ohniska E a F, a tyto dvě vzdálenosti od sebe odečetli, vzali jejich absolutní hodnotu toho rozdílu, tak by to bylo rovno 2a. V tomto případě tedy 6, protože tohle je a na druhou, a je 3, dvakrát a je 6, takže rozdíl těch vzdáleností, absolutní hodnota toho rozdílu, by byla rovna 6, to bychom měli. Příště si dokážeme, jak už jsem řekla, tady tento vzoreček, e na druhou se rovná a na druhou plus b na druhou. Ale dneska už toho bylo příliš, příliš, takže já myslím, že pro dnešek to bohatě stačí.