Úvod do elips

Dnes se budeme bavit o elipsách. My už jsme si ve videu o kružnicích řekli, že kružnice je vlastně speciální případ elipsy, protože všechny body na kružnici mají od středu stejnou vzdálenost. U elipsy se tato vzdálenost od středu bude měnit. Pojďme si ukázat, jak taková elipsa vypadá. Začneme s nejjednodušší elipsou a to s tou, která má střed v počátku soustavy souřadnic. Taková elipsa může vypadat třeba nějak takto, dejme tomu. Určitě jste si teď všimli, že tady máme jednu vzdálenost, a ta je vlastně nejkratší z celé té elipsy. Tyto dva body jsou vlastně nejblíže středu té elipsy a naopak tady máme vzdálenost největší, kdy tyto dva body jsou nejvíc vzdálené tomu středu té elipsy. My si hned o tom něco povíme. Ještě tedy podotknu, že vlastně tyto dvě vzdálenosti u kružnice jsou identické, stejné. Středová rovnice pro elipsu se středem v počátku je takováto. X na druhou děleno a na druhou plus y na druhou děleno b na druhou je rovno jedné. To je středová rovnice elipsy, kdy a je vlastně délka, v uvozovkách, poloměru té elipsy ve směru osy x, takže a je vlastně toto. A b je potom délka, v uvozovkách, poloměru ve směru y. Tedy toto, to je b. Potom vlastně můžeme říct, že tyto dva body mají souřadnice a a 0 a minus a a 0. A tyto dva body mají souřadnice 0 a b a 0 a minus b. Elipsa může vypadat různě, může být takto tlustá a nízká, v uvozovkách, nebo může být takto vysoká a štíhlá. Můžu to tu ještě nakreslit. Já myslím, že vy ale tušíte, co se tím snažím říct. Může vypadat třeba i nějak takto, taková elipsa, ale ať nás to tady nemáte. Každá elipsa má dvě osy, hlavní osu a vedlejší osu, a ty dvě osy pak můžeme rozdělit každou na jednotlivé poloosy. Hlavní osa a dvě hlavní poloosy, to jsou ty, které jsou delší. A vedlejší osa, respektive ty dvě vedlejší poloosy, jsou ty, které jsou kratší. V tomto případě máme tlustou a nízkou elipsu, a je delší než b, takže v našem případě je a ta hlavní poloosa a b je poloosa vedlejší. Kdyby to byla ta vysoká a štíhlá elipsa, tak je potom a ta poloosa vedlejší a b je poloosa hlavní. Může to tedy být i naopak. Ještě se pojďme podívat na tu kružnici a na tu podobnost s tou elipsou a že to je jen speciální případ elipsy. Toto je rovnice elipsy se středem v počátku. Kdybychom měli střed elipsy někde jinde, tak by ta rovnice vypadala takto. X minus m to celé na druhou děleno a na druhou plus y minus n to celé na druhou děleno b na druhou je rovno jedné. Když si představíme naši středovou rovnici kruhu, která je x minus m na druhou plus y minus n na druhou je rovno r na druhou. Tak když si obě strany vydělíme r na druhou, tak vlastně dostaneme x minus m na druhou děleno r na druhou plus y minus n na druhou děleno r na druhou je rovno jedné. A teď vidíte tu krásnou podobnost. Toto nahoře je vlastně identické. A tady máme r na druhou, takže vidíme, že a se rovná b. Jak už jsem řekla, tyto dvě vzdálenosti jsou stejné. Je to pořád jeden a ten samý poloměr. Pojďme si tedy ukázat nějaký příklad, kde si hezky prakticky ukážeme toto. Ještě jednou se podívejme na tu rovnici. X na druhou děleno a na druhou plus y na druhou děleno b na druhou je rovno jedné. Pojďme na to. Takže. Mějme x na druhou děleno devíti plus y na druhou děleno dvaceti pěti je rovno jedné. Vidíme, že ve směru osy x je a rovno třem, protože tři na druhou je devět a ve směru osy y b je rovno 5. Jelikož pět na druhou je 25. Elipsa má střed v počátku, takže jak to bude vypadat? Já si to tady, raz, dva, tři, jen tak hezky zaznačím, ať to můžu hezky načrtnout. A b je 5. Pět, tak. Takže naše výsledná elipsa bude vypadat nějak takto. To je naše výsledná elipsa. Bylo to úplně jednoduché, že. Kdybychom teď tu elipsu chtěli posunout, tak aby neměla střed v počátku soustavy souřadnic. Kdybychom ji chtěli třeba, dejme tomu, posunout doprava o pět, že by měla střed v bodě 5 a 0, tady. Jak by potom vypadala ta rovnice? Já ji napíšu a hned si to vysvětlíme. Vypadala by takto. To je rovnice modré elipsy. X minus 5 to celé na druhou děleno devíti plus y na druhou děleno dvaceti pěti. To je rovno jedné. Bude to tak, protože když x bude rovno 5 a budeme tedy v tom středu, tak tento člen bude roven nule a bude se chovat úplně stejně jako se choval tento člen v té rovnici, kdy jsme byli v tomto bodě, když x bylo 0. Když x bylo 0, tento člen byl nulový, zbylo nám y na druhou děleno dvaceti pěti je rovno jedné. Y tedy bylo tedy rovno pěti nebo minus pěti. To samé tady. Když x bude rovno pěti, tento člen se nám vynuluje, zbyde nám to samé. A bude to zase y je rovno 5 nebo minus 5. Tento člen se musí chovat stejně jako tento člen v této rovnici. Takže tady máme x minus pět, když chceme aby střed byl v bodě 1 a 0. Tohle to známe už z posouvání všech možných funkcí, pořád jedno a to samé. U kuželoseček. V tom není žádný rozdíl. Takže určitě vám to nebude dělat problém. Ta elipsa potom bude vypadat, jenom ji tady načrtnu, nějak takto. To je elipsa s touto rovnicí. Výborně. Pojďme ještě dál, teď bychom tu elipsu chtěli ještě posunout jiným směrem. Chtěli bychom ji posunout dolů o 2. Jdeme dolů, do minusu. Takže jak bude vypadat ta rovnice, červená elipsa. Bude to tedy, určitě už víte, x minus pět to celé na druhou děleno devíti plus, a teď pozor, y plus 2 na druhou děleno dvaceti pěti je rovno jedné. Opět a zase, ještě tady načrtnu tu elipsu. Vydržte. V tomto bodě bude mít střed a bude vypadat nějak takto, výborně. Proč zase? Protože chci, aby tento člen této rovnice se choval stejně jako tento člen v této rovnici. Takže když tady bude y rovno minus 2, tak toto bude 0 stejně jako když tady y bylo 0. Ano, ten člen se musí chovat zase v té rovnici stejně. A odpovídá to úplně tomu, co jsem tady na začátku taky ještě napsala, x minus m na druhou děleno a na druhou plus y minus n na druhou děleno b na druhou. Tady zase vidíme, že to je elipsa se středem v bodě 5 a minus 2 a to krásně sedí. Myslím si, že to je celkem jasné. Vy to určitě už znáte z posouvání jiných funkcí. A pojďme si to vyzkoušet obráceně. Co když vám někdo řekne: "Já chci, abyste načrtli elipsu, která je zadaná rovnicí y minus jedna, to celé na druhou, děleno čtyřmi plus x plus dva, to celé na druhou, děleno devíti je rovno jedné. Vidíme, že ve směru y je poloosa rovna dvě, protože dvě na druhou jsou čtyři. Ve směru osy x je to 3, 3 na druhou je 9. To víme. To je jednoduché. A ještě chceme vědět, kde bude mít ta elipsa střed. To máme tady, takže vidíme, že x-ová souřadnice bude minus 2, y-ová souřadnice bude jedna. Teď už nám nezbývá nic jiného, než tu elipsu načrtnout. Takže minus dva a jedna, minus dva a jedna. Tady je střed té elipsy. A teď jsme říkali, ve směru osy y je délka té poloosy 2, to jsou jenom moje orientační body. A ve směru x to bude 3, ve směru x je to tedy ta hlavní poloosa, takže ta elipsa bude vypadat nějak takto, tak, zhruba. A vy si určitě už dokážete i odvodit souřadnice těchto bodů, to může být pěkné cvičení, když víme, že tento bod je minus dva a jedna. Jdu tedy o 3 ve směru x. Takže tady by to vlastně bylo jedna a jedna. A tady by to bylo minus 5 a jedna. A tady jdu ve směru y o 2 nahoru nebo dolů, do plusu nebo do minusu. Takže tady by to vlastně bylo minus 2 a 3. A tady by to bylo minus 2 a minus jedna. Ale to je jen tak na okraj, to není vůbec důležité. Elipsu jsme si podle rovnice dokázali načrtnout. A v dalších videích my budeme mít nějaké šílenější zadání a pokusíme se ho zjednodušit do tohoto tvaru, abychom zjistili, zda se jedná o elipsu. A abychom zjistili, jak ta elipsa bude vypadat. A na závěr se sluší dodat, že elipsa nemusí mít osy pouze rovnoběžné s osami x a y. Jak jsme si tady ukazovali. Ale ty osy mohou mít vlastně libovolný směr. S takovou elipsou se už pak ale pracuje složitěji a takovými případy se tady zabývat nebudeme. Myslím si, že pro dnešek už by to stačilo.