Úvod do limit

Abychom lépe pochopili, co to limita je, ukážeme si nejprve jeden příklad. Začneme s funkcí $f(x)=x+2$‍.

Limita funkce $f$‍ v bodě $x=3$‍ je číslo, ke kterému se blíží hodnoty funkce $f$‍, když jsme čím dál tím blíže k bodu $x=3$‍. V grafu se jedná o to $y$‍, ke kterému se při pohledu na graf funkce $f$‍ blížíme, když jsme čím dál tím blíže bodu, pro který platí $x=3$‍.

Například když začneme v bodě $[1;3]$‍ a pohybujeme se po grafu, dokud nejsme opravdu blízko k $x=3$‍, příslušná hodnota $y$‍ (tedy hodnota funkce $f$‍) je velmi blízko k $5$‍.

Když obdobně jako předtím začneme v bodě $[5;7]$‍ a půjdeme po grafu funkce směrem doleva, dokud nebudeme velice blízko k bodu $x=3$‍, hodnota $y$‍ bude opět velmi blízko k $5$‍.

Z těchto důvodů říkáme, že limita funkce $f$‍ v bodě $x=3$‍ je $5$‍.

Možná si teď říkáš, jaký je rozdíl mezi limitou funkce $f$‍ v bodě $x=3$‍ a hodnotou funkce $f$‍ v bodě $x=3$‍, tj. $f(3)$‍.

Ano, limita funkce $f(x)=x+2$‍ v bodě $x=3$‍ se rovná $f(3)$‍, ale obecně tomu tak vždy není. Ukážeme si to na následující funkci $g$‍. Tato funkce je úplně stejná jako $f$‍, až na to, že v bodě $x=3$‍ není definovaná.

Tak jako u $f$‍ je i limita funkce $g$‍ v bodě $x=3$‍ rovna $5$‍. Je to proto, že se pořád můžeme dostat velmi, velmi blízko k $x=3$‍ a funkční hodnoty budou stále velmi, velmi blízko k $5$‍.

Takže limita funkce $g$‍ v bodě $x=3$‍ se rovná $5$‍, ale hodnota funkce $g$‍ v bodě $x=3$‍ není definovaná! Nejde o totéž!

V tom tkví krása limit: limity nezávisí na hodnotě funkce v daném bodě. Namísto toho popisují chování funkce v bodech blízko k tomuto bodu.

Pro limity máme také speciální značení. Takto napíšeme limitu funkce $f$‍ pro $x$‍ blížící se ke $3$‍:

Symbol ${\displaystyle lim}$‍ znamená, že mluvíme o limitě něčeho.

Výraz napravo od symbolu ${\displaystyle lim}$‍ je ten výraz, jehož limitu počítáme. V našem případě jde o funkci $f$‍.

Symbol $x\to 3$‍ pod ${\displaystyle lim}$‍ znamená, že hledáme limitu funkce $f$‍ pro x blížící se ke $3$‍.

Co ale míníme tím, když říkáme "nekonečně blízko"? Pojďme se podívat na hodnoty funkce $f(x)=x+2$‍, když je $x$‍ velmi blízko ke $3$‍. (Nezapomeň, že když mluvíme o limitě, samotná hodnota $f(3)$‍ nás nezajímá.)

Vidíme, že když je $x$‍ menší než $3$‍ a zároveň velmi blízko k této hodnotě, hodnoty funkce $f$‍ jsou čím dál tím blíže k $5$‍.

Vidíme, že když je $x$‍ větší než $3$‍ a zároveň velmi blízko k této hodnotě, hodnoty funkce $f$‍ jsou také čím dál tím blíže k $5$‍.

Všimni si, že k číslu $5$‍ jsme se nejvíce přiblížili s $f(\mathrm{2,999})=\mathrm{4,999}$‍ a $f(\mathrm{3,001})=\mathrm{5,001}$‍. Tato čísla jsou od $5$‍ vzdálena $\mathrm{0,001}$‍ jednotky.

Pokud chceme, můžeme se přiblížit ještě víc. Řekněme, že bychom od $5$‍ chtěli být nejvýše $\mathrm{0,000}01$‍ jednotky. Potom bychom vybrali bod $x=\mathrm{3,000}01$‍, protože $f(\mathrm{3,000}01)=\mathrm{5,000}01$‍.

Takto můžeme pokračovat do nekonečna. Vždycky se k $5$‍ můžeme přiblížit ještě o trochu víc. Ale přesně to znamená "dostat se nekonečně blízko"! Protože přiblížení se "nekonečně blízko" není reálně proveditelné, limitou ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍ myslíme to, že ať už chceme být k $5$‍ jakkoliv blízko, pomocí nějakého $x$‍, které bude velmi blízko k $3$‍, se tam dostaneme.

Pokud je to pro tebe těžké na pochopení, možná ti pomůže tohle: Jak víme, že existuje nekonečně mnoho různých celých čísel? Určitě jsme je všechna nespočítali. Víme ale, že ať už máme jakékoliv celé číslo, existuje další celé číslo, které je ještě větší. Vždycky bude další a ještě další.

Při práci s limitami nehledáme nekonečně velké číslo, ale chceme se dostat nekonečně blízko. Když napíšeme ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍, říkáme tím, že k $5$‍ se můžeme blížit pořád blíž a blíž.

Podívejme se na ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2}$‍, což je limita výrazu $x^2$‍ pro $x$‍ blížící se ke $2$‍.

Vidíme, že když se v grafu blížíme k bodu $x=2$‍, $y$‍ je čím dál tím blíže k číslu $4$‍.

Také se můžeme podívat na tabulku funkčních hodnot:

Rovněž lze vidět, že k číslu $4$‍ se můžeme dostat, jak blízko chceme. Řekněme, že bychom od $4$‍ chtěli být méně než $\mathrm{0,001}$‍ jednotky. Které číslo $x$‍ poblíž bodu $x=2$‍ můžeme použít?

Zkusíme $x=\mathrm{2,001}$‍:

To je víc než $\mathrm{0,001}$‍ jednotky od čísla $4$‍. Dobrá, tak zkusíme $x=\mathrm{2,000}1$‍:

To už je dostatečně blízko! Když budeme zkoušet čísla $x$‍, která budou čím dál tím blíže k bodu $x=2$‍, můžeme se k číslu $4$‍ dostat ještě blíž.

Když to dáme dohromady, dostaneme: ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4}$‍.

Když se nyní vrátíme k funkci $f(x)=x+2$‍ a její limitě ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)}$‍, všimneme si, že k číslu $5$‍ se blížíme, ať už čísla $x$‍ rostou směrem ke $3$‍ (takzvaně se "blížíme zleva"), nebo naopak klesají směrem ke $3$‍ (tomu říkáme "blížit se zprava").

Teď se podívejme například na funkci $h$‍. Hodnota $y$‍, ke které se blížíme, závisí na tom, zda se k $x=3$‍ blížíme zleva, nebo zprava.

Když se k bodu $x=3$‍ blížíme zleva, funkční hodnota se blíží ke $4$‍. Když se však k bodu $x=3$‍ blížíme zprava, funkční hodnoty jsou stále blíže k číslu $6$‍.

Když se při hledání limity neblížíme z obou stran k tomu samému číslu, řekneme, že tato limita neexistuje.