Vodorovný vrh

Pojďme se podívat, jak si poradit s vodorovně vrženým předmětem. Pokud už úlohy na vrhy znáš, není to nic nového, kromě toho, že v nich existuje jeden háček, na který se lidé často nachytají. Za minutku tu ukážu, o co jde, aby ses také nenachytal. Za vodorovně vržené těleso považujeme předmět, který má na začátku čistě vodorovnou rychlost. Pokud se něco vrhá z útesu takto rovně dopředu, bez jakékoli svislé složky, je to vodorovně vržené těleso. Co by to tak mohlo být? Nudným příkladem je míček, který se skutálí ze stolu. Pokud skutálíš míček ze stolu, potom rychlost, se kterou míček začne, pokud je deska stolu plochá a vodorovná, rychlost toho míčku by ze začátku byla vodorovná. Pokud je počáteční rychlost tělesa čistě vodorovná, pak jde o těleso vodorovně vržené. Trochu víc vzrušující příklad. Lidé dělají bláznivé věci. Řekněme, že tento člověk skočí z útesu. Bude volat: „Hej, jdeme na to!“ Jdem na to, je nabuzený. Rozběhne se, ale neskočí z útesu, prostě jen přeběhne přes okraj, protože je dost nervózní. Přeběhne přes okraj rychlostí 5 metrů za sekundu, to je původní rychlost, přímo přes okraj útesu. Řekněme, že je úplně bláznivý, řekněme, že tento útes měří 30 metrů. To je víc než 90 stop. To je docela bláznivé. Takže z výšky 30 metrů… Vrhne se vpřed, letí vzduchem, tady dole je voda, takže původně běžel tudy, začne padat dolů, a potom žbluňk, žbluňkne do vody. Snad tady dole nenarazí na loď nebo ryby. Tato ryba vypadá, že už ji trefil. On nebo ona. Dobře, tady ryba, tady někdo žbluňknul do vody. Chceme vědět… Na toto se často ptají: „Do jaké dálky člověk doskočil, než dopadnul do vody?“ Toto je obvyklá úloha, objevuje se skoro pořád. Kdybys skákal do vody z útesů, tedy, doma to raději nezkoušej, ale kdybys byl profesionálem, mohl bys chtít vědět, pro tento útes a tuto rychlost, jak rychle musíš běžet, aby ses vyhnul například tomuto kamení tady u paty útesu. Možná je tu hrozivé, rozeklané skalisko, na které nechceš spadnout. Jak rychle bych musel běžet, abych ho bezpečně překonal? Dobrá, co se tady teoreticky děje: Je to stejné u každého vrhu, vodorovný pohyb se odehrává nezávisle na svislém pohybu. Tím chci říct, že vodorovná rychlost se vyvíjí nezávisle na svislé rychlosti. Udělám rychlost touto barvou. Řekněme, že svislá rychlost je růžová, vodorovná rychlost je zelená. Tato svislá rychlost se bude měnit, ale tato vodorovná rychlost zůstane stejná. Ty dvě se navzájem neovlivňují. Jinak řečeno, vodorovná rychlost začala na 5, ten člověk bude mít pořád vodorovnou rychlost 5 metrů za sekundu. Tato vodorovná rychlost bude vždy 5 metrů za sekundu. Celou cestu, za předpokladu, že pohyb nic neomezuje, že nemá třeba raketový batoh, který by ho poháněl, a není tu ani odpor vzduchu, bude mít tento člověk vodorovnou rychlost stále 5 metrů za sekundu, tedy až do chvíle, kdy tady žbluňkne do vody. Tady už na něj působí síly vody, které různě ovlivňují zrychlení, ale to už nebudeme uvažovat. Co svislý pohyb? Tento člověk začíná s nulovou svislou rychlostí. Prostě přeběhnul vodorovně přes okraj útesu a pak začíná nabírat rychlost. Bude získávat svislou rychlost směřující dolů, tady větší svislou rychlost, protože tíha jej táhne dolů, pak ještě víc, úplně mimo obrazovku, bude to hodně velké. Obří svislá rychlost, toto by se mělo zvětšovat a zvětšovat, protože tíha ovlivňuje svislý pohyb, ale ne ten vodorovný. Jak to tedy vyřešíme matematicky? Napišme si, co víme. Víme, že vodorovně tento člověk začal s nějakou počáteční rychlostí. Počáteční rychlost „v0 s indexem x“… můžu mít „p“ jako počáteční, ale napsal jsem 0 jako „v0 s indexem x“, znamená to, že počáteční rychlost je 5 metrů za sekundu. Ve směru „x“ už neznáme nic. Můžeš se domnívat, že 30 metrů je posunutí podél osy x, ale to je ve svislém směru. Toto nám neříká nic o této vodorovné vzdálenosti. Toto vodorovné posunutí je to, co chceme zjistit. Toto vodorovné posunutí ve směru „x“ se snažíme zjistit, řekneme, že to neznáme a napíšeme si to. Nevíme, jak to zjistit, ale víme že to chceme zjistit, tak to sem napíšu. Co směr „y“, co o něm víme? Dobrá, teď použijeme tuto 30. Možná chceš říct, že Δy je +30, ale mýlil by ses, protože tento člověk 30 metrů spadl. Zamysli se. Začal na vrcholu útesu, skončil u paty útesu. To znamená, že ten člověk skončí pod místem, kde začal, o 30 metrů níž než začal. To tedy musí být posunutí o -30 metrů, pokud směr dolů považuješ za záporný, což je běžná úmluva. Směr dolů je záporný a směr doleva je záporný. Pokud je směr dolů záporný, toto musí být záporné posunutí. Co dalšího víme o svislém směru? Pro volně padající těleso víme, že svislé zrychlení bude vždy -9,8 metrů za sekundu na druhou, pokud směr dolů je záporný. Tady je ten háček, kde se lidé zasekávají a kde dělají chyby. Tvrdí, že původní rychlost ve směru „y“ je 5 metrů za sekundu. Lidé udělají cokoli, aby strčili těchto 5 metrů sem, protože to je rychlost, kterou mají zadanou. Jenže to byla vodorovná rychlost. Proto se tomu říká vodorovný vrh, ne svislý vrh. Zamysli se nad tím. Počáteční rychlost v svislém směru byla 0, není tu žádná počáteční rychlost. Toho člověka nic nevymrštilo svisle nahoru ani svisle dolů, tento člověk se prostě vrhnul vodorovně vpřed, počáteční rychlost ve svislém směru je prostě 0. To se lidem nelíbí. Říkají, že tento člověk nějak začne nabírat rychlost v okamžiku, kdy překročí okraj útesu. To se začne zvětšovat a zvětšovat směrem dolů. Ale to je poté, co skočí z útesu. Mluvíme o okamžiku, kdy opouští útes. V okamžiku, kdy je přes okraj, je tu jen vodorovná rychlost, což znamená, že nemá žádnou počáteční svislou rychlost. Takže tato část lidi hodně mate, protože ji úloha přímo nezadá. Úloha nebude říkat: „Zjistěte vzdálenost skokana z útesu, za předpokladu, že rychlost v ose y je 0.“ Ne, řeknou prostě: „Skokan skočil vodorovně z útesu. Zjistěte toto.“ To prostě budeš muset vědět, že když skočíš vodorovně z útesu, nebo někdo něco vodorovně vystřelí, znamená to, že tu není žádná svislá rychlost, že dosadím tuto počáteční rychlost ve směru y rovnou 0. V tom je celé kouzlo. Teď už se na to nenech nachytat. Chceme zjistit posunutí ve směru x, ale kolik proměnných je v pohybu podél y? Víme toto všechno. To je dobře. Jenže to nejde použít, abychom přímo zjistili posunutí ve směru x. Musíme použít toto, abychom zjistili čas, protože čas bude totožný pro směry „x“ i „y“. Zjistím čas, který můžu dosadit zpátky tam, protože čas, který uběhne při této cestě, bude úplně stejný jako čas pro tuto cestu. Je úplně jedno, jestli tomu říkám směr „x“ nebo „y“, čas je stejný pro oba směry. Jinak řečeno, čas potřebný k posunutí o 30 metrů zde bude stejný, jako je čas pro posunutí o toto, ať už je to cokoli, a to teď zjistíme. Pojďme zjistit čas. Jak to uděláme? Zamysli se nad tím. Známe posunutí, známe zrychlení, známe původní rychlost a chceme znát čas. Neznáme konečnou rychlost, ale na konečnou rychlost se nás nikdo neptá, ani ji znát nechceme. Použijme vzoreček, který ji nepoužívá, bude to tedy vypadat nějak takto. Použijeme, že Δy je rovno počáteční rychlost ve směru y krát čas plus 1/2 zrychlení ve směru y krát čas na druhou. Teď můžeme dosadit hodnoty. Posunutí ve směru y je -30. Počáteční rychlost ve směru y je 0. Tady by se to stalo, tady by se stala ta chyba, lidé sem prostě strašně chtějí dosadit tu 5. Nedělej to, je to past! Takže 0 krát t je prostě 0, celý ten člen je 0. Plus 1/2 krát zrychlení, to je -9,8 metrů za sekundu na druhou, krát „t na druhou“. Teď můžu vypočítat „t“. Dám „t“ na jednu stranu, pak obě strany odmocním, je to „t na druhou“. Co dostanu? Musel bych obě strany vynásobit 2, dostal bych tedy -30 metrů krát 2, pak musím vydělit obě strany -9.8 metry za sekundu na druhou. To se rovná… Všimni si, že kdybys tady nahoře zapomněl minus u -30, dojdeš sem dolů, tady je +30, a dole máš záporné číslo. Musel bys toto dosadit a pak odmocňovat záporné číslo. Kalkulačka by na tebe křičela: „Co to má znamenat?" Ty bys říkal: „Jsem v háji?“ Takže bys ses vracel a nejspíš si řekl, „Prostě to udělám všechno kladné a uvidím, jestli to funguje.“ Fungovalo by to, protože podívej, tyto minusy se navzájem vyruší, ale je lepší vědět, o čem vlastně mluvíš. Takže pozor. Dosaď záporná čísla a všechno bude v pořádku. Když to vyřešíš, dostaneš čas 2,47 sekundy. To je vlastně hodně času. Může se ti zdát, že padáš dlouho, když třeba seskakuješ ze stolu nebo trampolíny, ale to je obvykle zlomek sekundy. Dvě a půl sekundy je vážně dlouho, dlouhý volný pád. Můžeme vzít toto, jak dlouho trvalo posunutí o 30 metrů svisle, ale to bude stejně dlouho jako posunutí v tomto vodorovném směru. Můžeme použít stejný vzoreček. Můžeme říct, že pokud Δx je rovno počáteční rychlosti ve směru x, používám ten samý vzoreček, jen pro směr x. plus 1/2 krát „a s indexem x“ krát „t na druhou“. Stejný vzorec jako tady, akorát pro směr x. Δx je prostě dx, už jsme to pojmenovali, takže tomu prostě říkejme dx. Přesunu tuto rovnici sem. dx je Δx, to se rovná počáteční rychlosti ve směru x, to je 5. Toto je opravdu 5. Ve směru x byla počáteční rychlost opravdu 5 metrů za sekundu. Co počáteční čas? Pardon, čas, ne počáteční čas. Čas tady byl 2,47 sekund. To byl časový interval. Čas mezi tím, kdy ten člověk přeběhnul nebo skočil přes okraj útesu, a kdy žbluňknul do vody, byl 2,47. Jen to smažu… 2,47 sekund. Takže 2,47 sekund a toto skončí tady. Co toto „a s indexem x“? Toto „a_x“ je 0. Vzpomeň si, nic toho člověka nenutí, aby začal zrychlovat ve směru x. Pokud nemá raketový batoh, není odpor vzduchu, není důvod, aby tento člověk vodorovně zrychloval, má po celou cestu stejnou rychlost. Takže co vyjde? Pokud vypočítáme dx, dostaneme, že dx je něco kolem 12,4. Podívejme se, mám to vypočítané. Kolem 12,4 metrů. Pokud by se tato skaliska táhla dále než 12 metrů, určitě to nechceš zkoušet. I kdyby to bylo těsně, asi to nechceš zkoušet. Vlastně to vůbec doma nedělej, nech to profesionálům. Jen říkám, že kdybys jedním byl a chtěl zjistit, jak daleko doskočíš, dělal bys to takto. Takové úlohy řešíte takto, a když se chceš vyhnout chybám, ujisti se, že dosazujetš záporné posunutí, protože padáš dolů, ale zvlášť důležité je vědět, že počáteční svislá rychlost je 0, protože začínáš jen s vodorovnou rychlostí. Nikdo ti to přímo nezadá, takže to prostě musíš vědět.