Podobnost trojúhelníků a goniometrické funkce

Na obrázku máme dva pravoúhlé trojúhelníky. Navíc řekněme, že mají oba úhel o velikosti theta. Tedy úhel při vrcholu A je shodný s úhlem při vrcholu D. Co nám z toho vyplývá pro tyto dva trojúhelníky? Pokud známe v trojúhelníku dva úhly, známe i ten třetí. Je to proto, že součet úhlů v trojúhelníku musí vždy být roven 180. Pokud máme dva stejné úhly v trojúhelnících, je shodný i ten třetí. A pokud mají dva trojúhelníky stejné úhly jsou si navzájem podobné. Ještě to trochu vysvětlím. Tenhle úhel je tedy theta a tento je 90, a dohromady musí dávat 180 stupňů. To znamená, že součet tohohle úhlu a tohoto musí dát dohromady 90. Protože 90 je už tedy vypotřebovaných. Tedy úhel A a úhel B jsou doplňkové úhly. Proto tady můžu napsat, že tento úhel má velikost 90 minus theta. Tady můžem použít stejnou taktiku, 90 stupňů už máme vyčerpaných tady, Zbylé dva úhly dávají dohromady 90, a tak bude tento úhel 90 stupňů minus theta. Vídíme už jasně, že máme tři shodné úhly. Z toho důvodu víme, že se jedná o podobné trojúhelníky. Proč nás to vůbec tolik zajímá? Z geometrie víme, že pokud jsou dva trojúhelníky podobné, mají pro všechny tři strany shodný koeficinent podobnosti. Pojďme se teď podívat právě na tyto strany. Strana, která je naproti pravému úhlu, se nazývá přepona. Tohle je tedy přepona a odpovídá přeponě v druhém trojúhelníku. Napíšu to sem, tohle je přepona a tohle taky (anglicky je to hypotenuse). Které straně odpovídá v druhém trojúhelníku strana BC? Můžeme to pojmout tak, že hledáme stranu, která je protilehlá úhlu theta. Pokud jdeme naproti od úhlu theta, tak to je ona. Takže naproti od thety je tady strana BC a u druhého trojúhelníku strana EF. Tedy zjišťujeme, že straně BC odpovídá strana EF. Strana AC je ta poslední, co zbyla. Můžeme se na ní dívat z dvou úhlů pohledů. Zaprvé je to strana, která s přeponou svírá úhel theta. Zároveň vidíme, že úhel při vrcholu A odpovídá úhlu při vrcholu D. Proto tato strana bude ke straně AC příslušející. Tímto jsem chtěl jen ukázat, že poměr mezi délkami příslušných stran u dvou podobných trojúhelníků je stejný pro každou dvojici stran. Například poměr mezi stranami BC a BA. Napíšu to. BC lomeno BA je rovno EF lomeno ED. Je rovno délce strany EF lomeno délkou strany ED. Nebo to můžeme napsat jinak, že délka AC lomeno přeponou je rovno DF lomeno DE. Je to ta zelená strana lomená oranžovou. Jsou to podobné trojúhelníky, mají určitý poměr podobnosti. Takže tohle se rovná DF lomeno DE. A můžeme pokračovat, například poměr této modré strany ku zelené straně. Je to délka BC lomeno CA se bude rovnat poměru mezi modrou a zelenou stranou zde. Neboli délka strany EF lomeno délkou DF. Všechno jsme získali pouze z faktu, že tyto dva trojúhelníky jsou podobné. Tohle platí pro všechny pravoúhlé trojúhelníky, které mají úhel theta. Potom jsou totiž trojúhelníky podobné a všechny tyto vztahy jsou platné. Co kdybychom tyto zlomky pojmenovali? Tak, aby byly ve vztahu s úhlem theta. Tedy z pohledu thety, theta vypadá pro připomenutí takto. Jak můžeme pojmenovat poměr těchto dvou stran? Z pohledu thety je modrá strana protilehlá a oranžová je přepona. Z pohledu thety se tedy jedná o protilehlou stranu lomenou přeponou. Zdůrazňuji, že je to z pohledu theta. Z pohledu úhlu u vrcholu B by to totiž bylo jiné, přilehlá lomeno přeponou. Tento vztah si ještě později probereme, ale to dodělejme pro thetu. Jak bude ten prostřední vztah z pohledu thety? Theta je tady, AB a DE jsou stále přepony, jak ale můžeme nazvat strany AC a DF? Ty jsou k úhlu theta přilehlé, jsou to strany, které s přeponou tvoří úhel theta. Toto tedy můžeme přepsat jako zlomek mezi přilehlou stranou... ...opakuji, že je to přilehlá ke zvolenému úhlu theta, který je u vrcholů A a D... Přilehlá strana k vrcholu A je AC a přilehlá strana k vrcholu D je DF. Takže tento poměr můžeme v poměru k thetě přepsat jako přilehlá ku přeponě. A bude to platit pro jakýkoli pravoúhlý trojúhelník s úhlem theta. A na závěr poslední vztah. Tahle strana je protilehlá, jen to tu dopíšu. Tenhle vztah můžeme stejně zapsat jako protilehlá ku přilehlé. Tohle je opravdu důležité a budeme to počítat ještě hodně různých příkladů. Pro každý pravoúhlý trojúhelník s úhlem theta bude poměr mezi protilehlou stranou a přeponou stejný. To vychází z podobných trojúhelníků, právě jsme to objevili. Stejně tak i poměr mezi přilehlou stranou a přeponou bude stejný. Stejný pro každý pravoúhlý trojúhelník obsahující úhel theta. Ve vztahu k úhlu theta bude i poměr mezi protilehlou a přilehlou stranou stejný. A na základě tohoto se matematikové rozhodli pojmenovat tyto významné poměry. Ve vztahu k úhlu theta bude tento zlomek stále stejný. Poměr protilehlé ku přeponě byl pojmenován jako sinus úhlu theta. Tohle je definice sinus thety, tuto definici ještě v dalších videích rozšířím. Tento druhý poměr je z definice kosinus theta. A poslední je z definice pojmenován tangens theta. Tohle jsou opravdu jen definice. Důležité ale je, že pro podobné pravoúhlé trojúhelníky jsou tyto poměry shodné. A proto byly zavedeny tyto definice. Pro lepší zapamatování (bohužel pro angličtinu) existuje slovní spojení soh-cah-toa. SOH znamená Sinus, Opposite (protilehlá) lomeno Hypotenose (přepona). CAH značí Cosinus, Adjacent (přilehlá) lomeno Hypotenose (přepona). A na konec TOA je Tangens, Opposite (protilehlá) lomeno Adjacent (přilehlá) soh-cah-toa V dalších videích tyto definice aplikujeme na reálné problémy.