Řešení délky strany se sinovou větou

Zde máme trojúhelník, ve kterém známe velikost dvou úhlů a jedné strany. Já tvrdím, že nám bude stačit znát pouze toto, abychom zjistili všechno ostatní. Dejte mi dva úhly a stranu a já dokáži zjistit velikost druhé a třetí strany. A také velikost třetího úhlu. Dobře, zkusme to tedy zjistit. Využijeme k tomu takzvanou sinovou větu. V dalším videu si tuto větu dokážeme. Nyní si ukážeme, jak ji můžeme využít. A bude to velmi jasné, sinová věta nám říká, že poměr mezi sinem úhlu a protilehlou stranou bude konstantní pro všechny úhly trojúhelníku. Například u tohoto trojúhelníku. Tento úhel má 30 stupňů, tento úhel 45 stupňů, dohromady musí mít 180 stupňů, takže tento úhel zde, bude mít 180 minus 45 minus 30 stupňů, což je 180 minus 75 tedy bude měřit 105 stupňů. Pojďme využít sinovou větu, označme si všechny strany. Pojmenujme si tuto stranu ‚a‘, má tedy délku ‚a‘. Tato strana bude ‚b‘, tedy má délku ‚b‘. Sinova věta nám říká, že poměr sinu určitého úhlu a protilehlé strany bude konstantní v celém trojúhelníku. Takže sinus tohoto úhlu, úhlu 30 stupňů, děleno délka protilehlé strany se bude rovnat sinu 105 stupňů děleno délka protilehlé strany tomuto úhlu, což se bude rovnat sinu 45 stupňů děleno délkou dané protilehlé strany. Takže sinus 45 stupňů děleno ‚b‘. Když bychom chtěli zjistit délku strany ‚a‘, vyřešíme to přes tuto rovnici, A délku strany ‚b‘ bychom vyřešili pomocí této rovnice. Pojďme si vyřešit obě. Jaký je sinus 30 stupňů? Vzpomeňte si na jednotkovou kružnici, je to jedna polovina. A pokud si to nepamatujete, můžete použít kalkulačku. Já jsem si to zkontroloval. Sinus je tedy 0,5. Máme zde tedy 0,5 děleno 2. Neboli jedna čtvrtina se rovná sinu 105 stupňů děleno ‚a‘. Napíšeme si to. Je to rovno sinu 105 stupňů děleno ‚a‘. Můžeme vzít vlastně obě dohromady budou se tedy takto rovnat. Jedna čtvrtina se rovná sinu 45 stupňů děleno ‚b‘. Sinus úhlu 45 stupňů patří k těm lehčím, dá se snadno určit pomocí jednotkové kružnice. Možná si pamatujete, že je to odmocnina ze 2 děleno 2. A můžete použít kalkulačku. Ale pak dostanete desetinnou hodnotu. Nicméně v obou případech nejprve vyřešme ‚a‘ a potom ‚b‘. Můžeme udělat to, že vezmeme převrácenou hodnotu obou stran rovnice. Převrácená hodnota 1/4 je 4. A převrácená hodnota pravé strany je ‚a‘ děleno sinus 105 stupňů. A abychom vyřešili ‚a‘ stačí pouze vynásobit obě strany sinem 105 stupňů. Takže dostaneme 4 krát sinus 105 stupňů se rovná ‚a‘. A teď využijeme kalkulačku. Takže čtyřikrát sinus 105 je rovný přibližně, zaokrouhlíme na setiny, je rovný 3,86. Takže ‚a‘ se bude přibližně rovnat 3,86. Což vypadá dobře, když zde máme dvojku. A já jsem vhodně určil úhly, Podívejme se na ‚b‘. Můžeme opět vzít převrácenou hodnotu obou stran a dostaneme, že 4 se rovná ‚b‘ děleno odmocnina ze 2 děleno 2, vynásobme obě strany rovnice odmocninou ze 2 děleno 2. Dostaneme, že ‚b‘ se rovná 4 krát odmocnina ze 2 děleno 2. Jinak řečeno ‚b‘ je 4 krát sinus 45 stupňů. Pojďme to vypočítat. Pokud bychom chtěli tuto hodnotu vyčíslit, mohli bychom to napsat jako 2 odmocniny ze 2. 2 odmocniny ze 2 se rovnají 2,83. Takže i ‚b‘ se bude přibližně rovnat 2,83. Dobře, takže aby bylo jasno, tato 4 děleno 2 bude 2 odmocniny ze 2, což je 2,8. To se přibližně rovná 2,83. Když bychom zaokrouhlili na setiny, což vypadá docela rozumně. Takže klíčové u sinové věty je to, že pokud znáte dva úhly a stranu, dokážete vypočítat všechno ostatní. Nebo když znáte dvě strany a úhel, dokážete také vypočítat vše v daném trojúhelníku.