If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Kurz: Přijímačky na SŠ (čtyřleté obory) > Kapitola 3

Lekce 8: Objem a povrch těles
Matematika
Přijímačky na SŠ (čtyřleté obory)
Geometrie v rovině a prostoru
Objem a povrch těles
© 2024 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Výpočet objemu složitějších těles

Učebna Google
Pojďme si hrát! Svět kolem nás je rozmanitý a tělesa mají různá zaoblení, zkosení nebo dutiny uvnitř a i v takových případech chceme zjistit jejich objem. Pojďme si projít, jak k tomu lze přistupovat.

Objem složených těles

Kvádr, který má v sobě otvor ve tvaru poloviny koule
Kvádr, který má jednu hranu zaoblenou.
Kvádr, který má na protilehlých stranách připojený trojboký hranol jednou z jeho stran.
Pojďme si hrát! Svět kolem nás je rozmanitý, neskládá se pouze ze základných těles. Tělesa mívají různá zaoblení, zkosení nebo dutiny uvnitř a i v takových případech chceme zjistit jejich objem. Pojďme si projít, jak k tomu lze přistupovat.

Zjišťování objemu odečítáním

Uprostřed tohoto kvádru je dutina ve tvaru válce, abychom jím mohli prostrčit tyč. Všechny zadané rozměry jsou v milimetrech. Pojďme zjistit objem tohoto tělesa.
Kvádr o šířce sedm jednotek, délce jedenáct jednotek a výšce devět jednotek. Uprostřed je dutina ve tvaru válce o poloměru ve velikosti tři jednotky a délce jedenáct jednotek.

Rozkouskování tělesa

Těleso bylo vytvořeno tak, že do kvádru byl vyříznut válec.

Zjišťování jednotlivých objemů

Jaký je objem kvádru?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
mm3

Jaký je objem válce?
  • Odpověď má být
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
mm3

Odčítáním k celkovému objemu

Pojďme použít odečítání, abychom zjistili objem tělesa.
Jaký objem má těleso?
Vyber 1 odpověď:

Sčítáním k celkovému objemu

Vezměme si třeba objem stanu s následujícím rozměry. Všechny jsou v jednotkách metry. Základna stanu má tvar obdélníku.
Nákres stanu. Základna má tvar obdélníku se šířkou dvanáct jednotek a délkou čtyři jednotky. Boční stěny mají tvar lichoběžníku a setkávají se nahoře, mají tedy společnou horní základnu, přičemž tato strana je dlouhá 8 jednotek. Spodní základna obou lichoběžníků má délku 12 jednotek, tedy stejná jako navazující šířka základy stanu. Výška stanu, tedy vzdálenost horní hrany od základy stanu je šest jednotek. Přední a zadní strana stanu jsou rovnoramenné trojúhelníky.

Rozkouskování tělesa

Na první pohled to může vypadat, že se jedná o trojboký hranol, ale po stranách to tomu neodpovídá. Můžeme však těleso rozdělit na trojboký hranol a dva jehlany po stranách.
Nákres stanu rozkouskovaného na tři tělesa, kterými jsou troboký hranol a dvě poloviny jehlanu. Trojboký hranol má základnu o šířce čtyři jednotky, je vysoký osm jednotek a dlouhý osm jednotek. U polovin jehlanu je šířka základny čtyři jednotky a výška je šest jednotek.

Výpočet jednotlivých objemů

Začněme s objemem trojbokého hranolu. Všechny hranoly mají objem (obsah podstavy)(výška).
Jaký je obsah podstavy trojbokého hranolu?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
m2

Jaký je objem trojbokého hranolu?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
m3

Teď můžeme zjistit objem jehlanu (vypadá to jako pyramida). Pojďme spojit obě poloviny jehlanu a zjistit objem celého jehlanu.
Jehlan vznilý spojením obou polovin jehlanu.
Všechny jehlany mají objem 13(obsah podstavy)(výška).
Jaký je obsah obdélníkové podstavy jehlanu?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
m2

Jaký je objem celého jehlanu?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
m3

Sčítáním ze zjištění celkového objemu

Nakonec sečteme vypočítaný objem trojbokého hranolu a objem jehlanu, čímž zjistíme celkový objem stanu.
Jaký objem má stan?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
m3

Těžší příklad

Naostřenou tužku si můžeme představit jako válec připojený na kužel, s tím, že jejich podstavy mají shodný poloměr. Naše tužka má délku 190mm a podstava má obsah 40mm2. Objem takového tužkového tělesa je 7040mm3.
Naším úkolem je najít délku p, což je vlastně výška napojeného kuželu.
Tužka vytvořená spojením úzkého válce a kužele se stejně velkými podstavami. Výška kužele je označená jako p jednotek. Délka celé tužky je sto devadesát jednotek.

Vyjádření objemu jako funkce neznámé proměnné

Vyjádři objem kuželu v závislosti na p.

Zapiš výraz pro délku válce v závislosti na p.

Zapiš výraz pro objem válce v závislosti na p.

V závislosti na p zapiš výraz pro objem celé tužky.

Výpočet neznámé

Nyní si za vyjádřený objem můžeme dosadit zadanou hodnotu, 7040mm3 a dopočítat p.
Jaká je výška p?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
mm

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.