Hlavní obsah

Kurz: Přijímačky na SŠ (čtyřleté obory) > Kapitola 1

Lekce 5: Výrazy

Rozklad kvadratických výrazů: výrazy ve tvaru čtverce

Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy, které jsou ve tvaru "čtverce". Například napiš x²+6x+9 jako (x+3)².

Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.

V tomto článku se naučíš, jak lze pomocí speciálních vzorečků rozložit tzv. trojčlenné čtverce. Jde o opak mocnění dvojčlenů na druhou, což bys měl raději zcela umět předtím, než budeš pokračovat ve čtení.

Úvod: Rozkládání trojčlenných čtverců

Chceme-li umocnit jakýkoliv dvojčlen, můžeme použít jeden z následujících vzorců.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

Povšimni si, že v těchto vzorcích mohou být

a

b

libovolné algebraické výrazy. Řekněme, že chceme umocnit například

(x + 5)^{2}

. V takovém případě

a = x

b = 5

, takže dostáváme:

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

Správnost použitého vzorce si můžeš ověřit tak, že k umocnění

(x + 5)^{2}

použiješ násobení.

Obrácení tohoto postupu je určitým typem rozkladu na součin. Pokud předchozí rovnosti napíšeme v obráceném sledu, dostaneme vzorce pro rozklad mnohočlenů ve tvaru

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

na součin.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

K rozkladu

x^{2} + 10 x + 25

můžeme použít první vzorec. V tomto případě máme

a = x

b = 5

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

Výrazy tohoto tvaru nazýváme trojčlenné čtverce. Jejich jméno značí, že jde o trojčlenné mnohočleny, které lze napsat jako nějaký výraz umocněný na druhou (takové výrazy se někdy označují právě slovem "čtverec").

Pojďme se podívat na pár příkladů, v nichž budeme rozkládat trojčlenné čtverce pomocí těchto vzorců.

Příklad 1: Rozklad $x^{2} + 8 x + 16$ ‍ na součin.

Povšimni si, že první a poslední člen jsou druhé mocniny:

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou:

2 (x) (4) = 8 x

To znamená, že náš mnohočlen je trojčlenným čtvercem, takže k rozkladu na součin můžeme použít následující vzorec:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

V našem případě

a = x

b = 4

. Náš mnohočlen tak na součin rozložíme následovně:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

Výsledek si můžeme zkontrolovat umocněním

(x + 4)^{2}

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož $x^{2} + 6 x + 9$ ‍ na součin.

2) Rozlož $x^{2} - 6 x + 9$ ‍ na součin.

Povšimni si, že první a poslední člen jsou druhé mocniny:

x^{2} = (x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou:

2 (x) (3) = 6 x

To znamená, že zadaný mnohočlen je trojčlenným čtvercem. Rozložit jej můžeme následovně:

\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = (x)^{2} - 2 (x) (3) + (3)^{2} \\ = (x - 3)^{2} \end{aligned}

Povšimni si, že znaménko v dvojčlenu je záporné, protože koeficient u

x

v zadaném trojčlenu je záporný.

3) Rozlož $x^{2} + 14 x + 49$ ‍ na součin.

Příklad 2: Rozklad $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ na součin.

Vedoucí koeficient trojčlenného čtverce nemusí být nutně roven

1

Například si všimni, že v trojčlenu

4 x^{2} + 12 x + 9

jsou první a poslední člen druhými mocninami:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou:

2 (2 x) (3) = 12 x

Protože trojčlen splňuje obě výše uvedené podmínky,

4 x^{2} + 12 x + 9

je trojčlenným čtvercem. Následující vzorec pro rozklad na součin tak můžeme opět použít.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

V našem případě

a = 2 x

b = 3

. Rozklad našeho mnohočlenu na součin tak vypadá následovně:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Výsledek si můžeme zkontrolovat umocněním

(2 x + 3)^{2}

Ano!

4 x^{2} + 12 x + 9

lze rozložit metodou seskupování.

Začneme tím, že najdeme rozklad čísla

4 \cdot 9 = 36

na součin dvou čísel, jejichž součet je

12

. Hledanou dvojicí čísel jsou

6

6

, poněvadž

6 \cdot 6 = 36

6 + 6 = 12

Člen

12 x

nyní rozdělíme na

6 x + 6 x

a použijeme seskupování:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (6 x + 9) & Seskupíme členy \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Vytkneme největší společné dělitele \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Společný dělitel! \\ = (2 x + 3) (2 x + 3) & Vytkneme 2 x + 3 \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Všimni si, že když poznáš, že

4 x^{2} + 12 x + 9

je trojčlenným čtvercem, můžeš tím ušetřit čas!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

4) Rozlož $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍ na součin.

5) Rozlož $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍ na součin.

Povšimni si, že první a poslední člen jsou druhé mocniny:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

25 = (5)^{2}

. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou:

2 (2 x) (5) = 20 x

To znamená, že zadaný mnohočlen je trojčlenným čtvercem. Rozložit jej můžeme následovně:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 20 x + 25 & = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + (5)^{2} \\ = (2 x - 5)^{2} \end{aligned}

Povšimni si, že znaménko v dvojčlenu je záporné, protože koeficient u

x

v zadaném trojčlenu je záporný.

Těžší příklady

6*) Rozlož $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍ na součin.

7*) Rozlož $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍ na součin.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Přijímačky na SŠ (čtyřleté obory)

Kurz: Přijímačky na SŠ (čtyřleté obory) > Kapitola 1

Úvod: Rozkládání trojčlenných čtverců

Příklad 1: Rozklad x2+8x+16‍ na součin.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

Příklad 2: Rozklad 4x2+12x+9‍ na součin.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

Těžší příklady

Chceš se zapojit do diskuze?

Příklad 1: Rozklad $x^{2} + 8 x + 16$ ‍ na součin.

Příklad 2: Rozklad $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ na součin.