Co jsou funkce sudé a liché

Podíváme se, zda bychom se nemohli naučit něco o sudých a lichých funkcích. O sudých funkcích, tady napravo potom budeme řešit liché funkce. Pokud bude čas, probereme i funkce, které nejsou ani sudé, ani liché. Předtím, než začnu řešit přesnou definici sudé funkce, chtěl bych vám ukázat, jak takové funkce vypadají, protože tak se myslím poznají velmi snadno. A také pak bude dávat větší smysl definice sudých funkcí. Takže tady nakreslím osy. X-ová osa, schválně jestli to zvládnu i rovněji, Tohle přesunu sem a to je moje y-ová osa. Nebo také osa, kde y se rovná f(x). Nakreslím graf funkce, f(x). f(x) se rovná x na druhou, nebo také y se rovná x na druhou. Nakreslím první kvadrant. Vypadá takto. A ve druhém kvadrantu vypadá takhle. Vypadá... Oh, udělám to více symetrické. Dobrá práce. f(x) se rovná x na druhou je sudá funkce. A poznáte je právě podle téhle symetrie. Podle osy y. Pokud se podíváte, co se děje na pravé straně, napravo od y-ové osy a převrátíte to podle y-ové osy, vyjde vám druhá polovina funkce, což je přesně to, co dělá sudá funkce. A rád bych vám tady předvedl jednu důležitou vlastnost. Pokud vezmete jakoukoliv hodnotu x, řekněme že třeba kladnou, například x se rovná 2 a najdete f(2), dostanete hodnotu 4. Budete to 4, protože naše f(x) je x na druhou, takže 2 na druhou je 4. Pokud vezmete zápornou verzi toho čísla, takže-2, vezmete tuto opačnou hodnotu a opět najdete hodnotu funkce, vyjde opět číslo 4, což je asi celkem jasné proč. Říkáte si, že pokud převrátím tuto funkci podél y-ové osy, bude to tak vycházet. Jakoukoliv hodnotu funkce dostanu pro kladné číslo, dostanu tutéž hodnotu i pro to samé, ale záporné číslo. Což nás přivádí k formální definici. Pokud je funkce sudá, nebo spíš funkce je sudá právě tehdy... Je sudá, ale nepleťte si pojem sudé funkce se sudým číslem. Jsou to úplně jiné koncepty. Není mezi nimi žádné, alespoň ne zjevné propojení, o kterém bych věděl, mezi sudými funkcemi a sudými čísly, případně lichými funkcemi a lichými čísly. Takže funkce je sudá právě tehdy, když f(x) se rovná f(-x). Důvod, proč jsem vám to neřekl hned na začátku, je ten, že tohle je přesná definice sudých funkcí. Ale když byste to viděli, řeknete si, co že to znamená? f(x) se rovná f(-x) a znamená to přesně tohle. Znamená to, že f(2) i f(-2) se rovná 4. Ukážu vám to na konkrétním případě. f(2) se rovná f(-2). A v případě, kdy funkce f(x) je f(x na druhou), obojí vyjde 4. Je to jiný způsob jak vyjádřit, že funkce se dá překlopit, nebo že levá strana je převráceným odrazem pravé strany funkce podél vertikální, y-ové, osy. A jen abych si byl jistý, že si dobře rozumíme, nakreslím vám pár dalších sudých funkcí. A nakreslím několik ztřeštěných příkladů, abyste se opravdu naučili je rozpoznat vizuálně. Takže funkce řekněme takováhle. Možná že tady vyskočí a udělá něco takového. A na téhle straně udělá to samé. Je to překlopené, takže poskočí tady. Pak pokračuje takhle a dál tudy. Pokouším se kreslit tak, aby to navzájem byly zrcadlové odrazy. Pak je to sudá funkce. Vezmete to, co se nachází v pravé polovině grafu funkce a doslova to překlopíte podél y-ové osy a vznikne levá část funkce. Měli byste vidět, že i u téhle to platí. Pokud si zvolím nějakou hodnotu, řekněme tahle, například 3, tak řekněme že f(3) tady se rovná například 5. Tohle je teda 5. Vidíme, že f(-3) bude také rovno 5. A o tom je právě naše definice sudé funkce. Nakreslím ještě jednu, abychom si byli úplně jistí. Udělám osy tou samou zelenou barvou. Udělám jednu takovouhle. Možná už jste měli nějaké takovéhle trigonometrické funkce, které vypadaly takto. Které vypadaly takhle. A pokračuje dál v tomhle směru. Takže něco takového bude zase sudé. Všechny tyhle jsou sudé funkce. Takže teď se asi ptáte, co jsou to ty liché funkce? Nechte mě jednu takovou nakreslit. Znova nakreslím osy. Osa x, osa y, což je funkční hodnota v bodech x, uvidíme lichou funkci. Ukážu vám speciální lichou funkci, možná dokonce tu nejznámější. Tohle je nejspíš ta nejznámější sudá. A přestože jsou tu nejspíš další adepti pro nejznámější lichou funkci, tak je to f(x) se rovná x na třetí. A možná už jste její graf viděli. Pokud ne, můžete si prostě zkusit dosadit do grafu nějaké body. Vypadá takto. Abyste rozpoznali na pohled lichou funkci, je potřeba se podívat na to, co se děje napravo od y-ové osy, toto je x-ová osa. Máte tady všechno co je napravo od osy y. Kdybyste to překlopili podle osy y, vyšlo by něco takového. Vyšlo by něco jako tohle a kdyby levá strana vypadala takhle, měli bychom co do činění se sudou funkcí. Ale to tu nemáme. Aby to byla lichá funkce, nejdříve překlápíme podle y-ové osy a potom ještě překlopíme podle x-ové osy, nebo se také na to dá koukat tak, že překlopíme graf podle y-ové osy a pak změníme znaménko. Tak jako tak to vyjde stejně. Nebo se také dá překlápět podle osy x, následně ještě podle osy y, tedy dvakrát překlopit graf. Zajisté pokud vezmeme tuhle část a potom překlopíme podle x-ové osy, vyjdou tyto hodnoty, získáme tuhle část grafu. A pokud to zkusíme s konkrétním bodem, udělám to, abychom porozuměli následně definici. Formální definici liché funkce. Zkusme bod, například zase 2. Pokud máme bod 2, tak f(2) je 8. Takže f(2) se rovná 8. Co se stane, když vezmeme -2? Pokud vezmeme -2, tedy f(-2), tak (-2) na třetí je -8. Takže f(-2) je -8. Obecně, pokud vezmeme, napíšu to sem, vezmeme f(2), tedy náš konkrétní příklad, tak máme že f(2) se nerovná f(-2). 8 se nerovná -8. 8 se rovná minus -8. Což je kladná 8. Takže f(2)se rovná -f(-2). Přišli jsme na to, jen chci aby to bylo jasné. Přišli jsme na to, že f(2) je 8. 2 na třetí je 8. Víme, že f(-2) je -8. (-2) na třetí je -8. Takže použijeme -(-8), minusy se zkrátí a je to totéž. Takže obecně, máme lichou funkci. Tady je její definice. Funkce je lichá právě tehdy, pokud pro každé x z definičního oboru platí, že f(x) se rovná -f(-x), nebo to někdy uvidíte napsané jinak. kdy jsou obě strany vynásobené minusem, -f(x) se rovná f(-x). A někdy to ještě můžete vidět prohozené, takže f(-x) se rovná, pečlivě si to rozmyslím, se rovná -f(x). Jen jsem prohodil strany rovnice. Teď vám nakreslím další liché funkce. Další liché funkce. Udělám to názorně. Nakreslím to trošku lépe. Takže když máme... Může vypadat takto, možná trochu podivně. Možná se chová zvláštně jako tahle na pravé straně. Kdyby byla sudá, tak by se nám to převrátilo sem, ale my chceme lichou. Takže musíme převracet ještě jednou. Takže zbytek funkce bude vypadat takhle. To, co jsem nakreslili netečkovaně, přímo tady, to je lichá funkce a to by mělo být vidět i z definice. Pokud byste si zvolili hodnotu a, potom našli f(a), což by bylo tady, tady by bylo f(a), tak pokud bychom vzali -a, opačnou hodnotu, tak f(-a) by bylo tady dole. Takže f(-a) bude rovno, bude ve stejné vzdálenosti na vodorovné ose. Není úplně jasné, jak jsem to nakreslil. Tak možná to bude jasné tady. Tahle věc zde je f(-a), což je stejně daleko od počátku jako f(a), ale na opačnou stranu. Což tady není, nenakreslil jsem to úplně proporcionálně. Nakreslím vám ještě jednu lichou funkci. Myslím, že už vám to dochází. Měl bych nakreslit nějakou jednoduchou lichou, abyste viděli, že ne vždy to musí být něco podivného. Takže velmi jednoduchá lichá funkce je y se rovná x. y se rovná x, něco takového. Jejda. Tato funkce prochází počátkem. Když to, co je vpravo, převrátíte doleva, dostanete tohle, po převrácení dolů, dostanete toto všechno ve třetím kvadrantu. Takže je to také lichá funkce. Nyní vám chci ukázat pár věcí, které nejsou lichými funkcemi. A některé by s nimi mohly být zaměňovány. Tak třeba můžete mít něco jako tohle, možná třeba parabolu. Ale tahle není symetrická podle osy y, přesto můžete být v pokušení říci, že tato parabola je symetrická, přesto ale nelze překlopit podle osy y, není to tatáž situace, kdy f(x) se rovná f(-x). Takže tohle to není, ani tohle. Ani lichá, ani sudá. Podobné to bude například u posunuté funkce x na třetí, třeba něco takového. Například x na třetí plus 1. Tedy f(x) se rovná x na třetí plus 1. Což bude vypadat asi takhle. A opět můžete být v pokušení říci, že tohle je lichá funkce, ale kvůli tomu posunu už není lichá, zkuste se na to podívat názorně. Toto je funkce f(x) se rovná x na třetí plus 1. Pokud vezmete tu část, která je napravo a převrátíte ji doleva, získáte něco takového a po převrácení dolů vyjde něco jako tohle. Proto to není lichá funkce. Tohle není převrácení doleva a následně shora dolů toho, co je tady napravo. Tady by to tak bylo.