Vzorce pro logaritmus podílu a mocniny: důkazy

Dokážeme druhé dva vzorce pro práci s logaritmy. Nejprve vzorec pro logaritmus mocniny. Bude se nám hodit odpovídající vzorec pro mocnění, který říká, že pokud máme m na k, to celé na n-tou, pak se to rovná m na (k krát n), pokud je m větší než nula. Podívejme se nyní na logaritmy. Tentokrát si jako x označíme tento logaritmus. Tedy logaritmus o základu a čísla c je x. To si ještě přepíšeme pomocí mocniny jako a na x-tou se rovná c. V logaritmu na pravé straně máme výraz c na b. Pojďme tedy umocnit c na b a použít x tak, jak jsme si ho zavedli. c je a na x-tou, tedy to celé na b. A teď bychom chtěli použít vzorec pro mocnění. Jenom si musíme zkontrolovat, že a je kladné. A to nám zajišťuje podmínka v zadání. Takže ano. Tedy dostáváme a na x krát b. Nyní pojďme tuto rovnost mocnin přepsat pomocí logaritmu. Logaritmu o základu a. Dostáváme tak logaritmus o základu a čísla c na b. A a na kolikátou je c na b? x krát b je ten správný exponent, jak vidíme na pravé straně rovnosti. To můžeme ještě přepsat jako b krát x. Násobení je komutativní, na pořadí tedy nezáleží. Nyní přejdeme od x zpět k logaritmu. Místo x tedy napíšeme podle definice logaritmus o základu a čísla c. No, když se dobře podíváme, tak vidíme, že vzorec je dokázán. Má sice prohozené strany, ale to nevadí. Ještě doplníme podmínky a samozřejmě nesmí chybět čtverec na konci důkazu. Zbývá nám dokázat poslední vzorec pro úpravu logaritmu, tak se na něj pojďme vrhnout. Pro tento vzorec by se nám jistě hodil vzorec pro podíl mocnin, který vypadá následovně, opět bychom zavedli x a y jako substituce logaritmů, ale my to uděláme jinak. Díky tomu, že už máme předchozí dva vzorce pro úpravu výrazu s logaritmy dokázané, konkrétně vzorec pro logaritmus součinu, který můžeme rozepsat jako součet logaritmů a druhý vzorec, který jsme si právě dokázali, který nám umožňuje rozepsat logaritmus mocniny pomocí součinu neboli přesunout exponent z logaritmu před něj, tak pomocí těchto dvou vzorců už můžeme dokázat třetí. A nemusíme používat žádné složité substituce. Jednoduše použijeme tyto vzorce. Ještě použijeme vzorec pro umocňování, který snad známe. Říká že 1/a je a na -1. Neboli minus v exponentu nám převrací základ. Pojďme tedy upravit výraz uvnitř logaritmu, tento zlomek. Přepíšeme ho právě pomocí vzorce pro umocnění. Místo lomeno c dostáváme krát c na -1 Nyní můžeme použít první vzorec pro logaritmus součinu a rozepsat tento logaritmus jako součet dvou logaritmů. První je logaritmus o základu a čísla b plus logaritmus opět o základu a čísla c na -1. Nyní použijeme druhý vzorec pro logaritmy, který nám říká, že exponent, v tomto případě -1, můžeme přesunout před logaritmus, který tak vynásobíme -1, což ale znamená jen to, že z plus mezi logaritmy se stane minus. Dostáváme tak takovýto výraz a vidíme, že to je přesně to, co jsme chtěli dokázat. Na počátku jsme měli logaritmus podílu b/c a pomocí vzorců, které jsme si již dokázali, jsme ho upravili na rozdíl logaritmů, což je přesně to, co jsme chtěli. Samozřejmě doplníme podmínky, za kterých tento vzorec platí a nesmí chybět čtverec na konci důkazu.