Grafy logaritmických funkcí

Vyřešíme si úlohu na hledání předpisu logaritmické funkce, která je dána grafem na obrázku. Hledáme předpis funkce f a víme, že to je jeden z nabízených předpisů. Je tedy jasné, že funkce f vychází z funkce logaritmus o základu 2 z x. Nejprve si tedy připomeneme tuto základní funkci. Označíme si ji g. Její předpis je y se rovná logaritmus o základu 2 z x. Začneme tím, že si vypíšeme tabulku hodnot této funkce. Začneme nejprve dosazovat x-ové hodnoty, které jsou nejjednodušší. To znamená například hodnotu 1. Pro x rovno jedna se ptáme, dvě na kolikátou je 1? A odpověď je na nultou. Rovnou můžeme nakreslit do grafu a pojďme dál. Pro x rovno 2 se ptáme, dvě na kolikátou je dvě? Odpověď: na prvou. Opět zakreslíme. A jdeme na x rovno 4, to je další hezká hodnota, protože dvě na druhou je 4, y je tedy 2. A ještě můžeme zvolit x rovno 8, což nám dává y rovno 3, protože dvě na třetí je osm. Určitě chceme za x dosadit i nějaké menší hodnoty, ale do logaritmu můžeme dosazovat pouze kladná čísla. To znamená, že půjdeme do zlomků. Můžeme dosadit například x se rovná jedna polovina, což je dvě na minus prvou. Takže y bude minus 1. Opět zakreslíme. A další pěkný bod dostaneme pro x se rovná jedna čtvrtina, protože to je 2 na minus druhou. Jako poslední hodnotu x zvolíme jednu osminu, protože to je přesně dvě na minus třetí. Nyní již máme dostatek bodů a můžeme je tedy spojit a dostat tak graf funkce g, která má předpis y se rovná logaritmus o základu 2 z x. Z tohoto grafu vychází i graf funkce f, ale vidíme, že graf funkce f je překlopený okolo osy x, to zařídíme jednoduše tak, že na začátek předpisu před logaritmus přidáme minus. Dostaneme tak funkci h, která má předpis minus logaritmus o základu 2 z x. A snadno si naši tabulku předěláme na tabulku pro funkci h. A to jednoduše tak, že obrátíme znaménka u všech y-ových hodnot. Graficky to znamená, že y rovno 0 zůstává a všechny ostatní body budou symetricky překlopeny podle osy x, protože y-ové souřadnici se změní znaménko. Jakmile máme body překlopené, můžeme je pospojovat a dostat tak graf funkce h. Vidíme, že tento graf už se více blíží grafu funkce f a už potřebujeme pouze tento graf posunout. Vidíme, že graf funkce f je oproti tomuto posunutý o dvě jednotky doleva. Všechny odpovídající si body jsou přesně o dvě jednotky doleva posunuté, neboli jejich x-ové souřadnice jsou o dvě jednotky menší. Toho dosáhneme tak, a tady se často chybuje, že v argumentu logaritmu k x-ku přičteme dvojku, to znamená, než budeme x-ko dosazovat do logaritmu, zvětšíme ho o 2. A to znamená, že abychom dostávali stejné výsledky, musí být x-ko o 2 menší než dříve. Proto se celý graf posune o dvě jednotky doleva. Máme tak určený předpis funkce f a vidíme, že to je poslední z nabízených předpisů.