If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Kurz: Funkce > Kapitola 3

Lekce 10: Inverzní funkce - úvod
Matematika
Funkce
Vlastnosti funkcí a jejich popis
Inverzní funkce - úvod
© 2024 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Inverzní funkce - úvod

Učebna Google
Pojďme si ukázat, co jsou to inverzní funkce a jakým způsobem lze vytvořit inverzní funkci k funkci zadané buď pomocí tabulky nebo grafu.
Inverzní funkce k nějaké funkci je funkce, která funguje přesně "obráceně" než původní funkce.
Ukažme si to na nějakém konkrétním příkladu. Řekněme, že máme funkci f, která zobrazí 1 na x, 2 na z a 3 na y.
Inverzní funkce k funkci f se značí f−1 a funguje přesně obráceně. Funkce f−1 tedy zobrazí x na 1, y na 3 a z na 2.
Kontrolní otázka
Které z následujících tvrzení je pravdivé?
Vyber 1 odpověď:

Definice inverzní funkce

Obecně řečeno, pokud nějaká funkce f zobrazí a na b, tak její inverzní funkce f−1 zobrazí b na a.
Formálně se inverzní funkce f−1 k funkci f definuje takto:

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Na několika příkladech si nyní ukážeme, co přesně tato definice znamená.

Příklad 1: Množinový obrázek

Funkce h je definována výše uvedeným množinovým obrázkem. Čemu se rovná h−1(9)?

Řešení

Ze zadání víme, jak funguje funkce h, a naším úkolem je odpovědět na otázku ohledně funkce h−1. Protože inverzní funkce funguje přesně obráceně než původní funkce, musíme i my obrátit náš způsob uvažování.
Přesněji řečeno, hodnotu h−1(9) určíme tak, že zjistíme, které číslo funkce h zobrazí na číslo 9. Označíme-li totiž h−1(9)=x, tak podle definice inverzní funkce platí h(x)=9.
Ze zadaného množinového obrázku vidíme, že h(6)=9, a tudíž h−1(9)=6.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Příklad 1
g−1(3)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Příklad 2: Graf

Níže je zakreslen graf funkce g. Zkusme určit g−1(−7).

Řešení

Hodnotu g−1(−7) můžeme určit tak, že zjistíme, které číslo funkce g zobrazí na číslo −7. Označíme-li totiž g−1(−7)=x, tak podle definice inverzní funkce platí g(x)=−7.
Ze zadaného grafu vidíme, že g(−3)=−7.
Z toho plyne, že g−1(−7)=−3.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Příklad 2
Čemu se rovná h−1(4)?
Vyber 1 odpověď:

Pokročilý příklad
Funkce f je definována předpisemf(x)=3x−2. Čemu se rovná f−1(7)?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Graf inverzní funkce

Předchozí příklady nám ukázaly, jak spolu daná funkce a její inverzní funkce souvisí algebraicky. Mezi těmito funkcemi je ale také úzká grafická souvislost!
Jako příklad uvažujme funkci f, jejíž graf i tabulka vybraných funkčních hodnot jsou uvedeny níže.
xf(x)
−214
−112
01
12
24
Vstupy a výstupy funkce f můžeme nyní obrátit a získáme vstupy a výstupy funkce f−1. Pokud bod [a;b] leží na grafu funkce y=f(x), tak bod [b;a] bude ležet na grafu funkce y=f−1(x).
Převrácením vstupů a výstupů funkce f tak dostaneme následující graf a tabulku funkčních hodnot funkce f−1.
xf−1(x)
14−2
12−1
10
21
42
Při pohledu na oba grafy vidíme, že grafy funkcí y=f(x) a y=f−1(x) jsou osově souměrné podle osy y=x.
Toto platí zcela obecně. Graf dané funkce a graf její inverzní funkce jsou vždy osově souměrné podle osy y=x.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 3
Níže je zakreslen graf funkce y=h(x).
Který z následujících grafů je grafem funkce y=h−1(x)?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 4
Grafem funkce y=h(x) je úsečka spojující body [5;1] a [2;7].
Přesuň koncové body níže zakreslené vodorovné úsečky tak, aby tato úsečka byla grafem funkce y=h−1(x).

K čemu se hodí inverzní funkce?

Možná si říkáš, proč nás zajímají zrovna inverzní funkce. Tyto funkce totiž používáme každou chvíli!
Rovnice C=59(F−32) se používá při převodu teploty uvedené ve stupních Fahrenheita (F) na teplotu ve stupních Celsia (C).
Co kdybychom chtěli rovnici, která provádí přesný opak, tj. která převede teplotu ve stupních Celsia na teplotu ve stupních Fahrenheita? K tomu slouží rovnice F=95C+32. Funkce F definovaná tímto předpisem je inverzní funkcí k funkci C definované předpisem z odstavce výše.
Obecněji řečeno, mnoho rovnic se v matematice řeší tak, že na jedné straně rovnice "osamostatníme neznámou." Při tomto osamostatňování neznámé se snažíme zbavit toho, co je okolo neznámé, pomocí tzv. "opačných" operací. V tomto smyslu tak myšlenku inverzní funkce používáme při řešení rovnic.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.