Exponenciální a lineární modely: slovní popis

Čerstvě narozené telátko váží 40 kilogramů. Každý týden se jeho hmotnost zvýší o 5%. Nechť H je hmotnost telátka v kilogramech po t týdnech. Je H lineární nebo exponenciální funkce? Bez toho, aniž bychom se koukali na ty možnosti, si to pojďme trošku rozebrat. To telátko nám na začátku váží 40 kilogramů a každý týden se jeho hmotnost zvýší o pět procent. A pak tam máme mít H jako hmotnost telátka po t týdnech. Oni nám tady neříkají, že by se ta hmotnost toho telátka každý týden zvyšovala o stejnou hodnotu, třeba o pět kilo, že by každý týden se ta hmotnost zvýšila o pět kilo. Potom by to byla ta lineární funkce, protože by se nám ty hodnoty měnily konstantně o nějakou danou hodnotu. Ale my tady máme, že se ta hmotnost zvyšuje o pět procent. Na začátku to bylo sto procent, ta hmotnost, a po jednom týdnu to bude o pět procent více, tedy sto pět procent té původní hmotností, a tedy já nebudu zvyšovat o konstantní hodnotu, ale budu něčím násobit. Mám mít 105 procent, tak vlastně budu násobit 1,05. Takže vlastně po prvním týdnu by telátko vážilo 40 kilogramů, které vážilo původně, krát 1,05, což nám vyjadřuje ten přírůstek o pět procent. No a kdybychom chtěli celkově vyjádřit tu funkci H, tak by to vlastně bylo 40 krát jedna 1,05 a to 1,05 by bylo umocněné na t, protože po t týdnech. Takže vlastně tolikrát bychom to vždycky vynásobili tím 1,05. A po dvou týdnech by to bylo 40 krát 1,05 krát 1,05 a tak dále a tak dále. Tohle by byl vlastně zápis té funkce. Takže my vidíme, že nepřičítáme každý týden nějakou konstantní hodnotu, ale násobíme vždy nějakou hodnotou, takže víme, že to nebude funkce lineární ale exponenciální. Tak se pojďme podívat na ty možnosti dole. Tato funkce je lineární, ne to rovnou přeskočíme. Tato funkce je lineární, tak také ne. Tato funkce je exponenciální. Fajn, to začíná dobře, protože pokaždé když se t zvýší o jedna tak H vynásobíme pěti. No tak to rozhodně není pravda, protože už po jednom týdnu by nám telátko vážilo 200 kilo a to asi tak rychle úplně neroste. My vidíme, že nenásobíme pěti pokaždé, když se t zvýší o 1, ale jedna celá nula pět setin. Tohle to je také špatně. Tak snad bude správně ta poslední možnost. Tato funkce je exponenciální, protože pokaždé když se t zvýší o jedna, tak H násobíme jedna celá nula pět setin. A to je přesně ta správná možnost, kterou už jsme tady spočítali, takže toto je jediná možná správná odpověď z těch čtyř. Pojďme se podívat ještě na jednu úlohu. Určete, jestli se popsaná situace mění lineárně nebo exponenciálně. Pojďme se na to podívat. Zaprvé. Filip má vzácnou minci o hodnotě 9 tisíc korun. Každý rok hodnota mince vzroste o deset procent. To je stejný případ jako nahoře. Nikdo nám neříká, že by se každý rok ta hodnota mince zvyšovala třeba o 1000 korun, nějakou konstantní hodnotu, ale ne, my budeme každý rok tu hodnotu něčím násobit. A jelikož nám to vzroste o deset procent, každý rok budeme mít ze 100 procent sto deset procent té hodnoty. Takže my vlastně budeme tady násobit jedna celá jedna. Vždycky tu hodnotu budeme násobit nějakou hodnotou, ne přičítat. Takže se nám to tady bude měnit exponenciálně. Váš strýc koupil auto za sto třicet tisíc mexických pesos, asi máte strýčka v Mexiku. Každý rok hodnota auta poklesne o deset tisíc pesos. Tady vidíme, že každý rok se nám ta hodnota auta snižuje o nějakou konstantní danou hodnotu. Za dva roky bude mít o 20 tisíc pesos méně. Za deset let by to auto prodal už jenom za 30 tisíc pesos, za 13 let už mu bude to auto úplně k ničemu, pokud by ho chtěl eventuálně prodat. Vidíme, že se to snižuje o nějakou konstantní hodnotu každý rok. Takže to bude lineární změna. Počet divočáků v Arkansasu se každých pět let zvýší třikrát. Neříkají nám, že by se co pět let zvýšil ten počet divočáků u tři, o třicet, o tři sta. Ne. Každých pět let se zvýší třikrát. Něčím násobíme tu hodnotu. Takže to bude exponenciální změna. To už známe. Poslední. Pracujete jako číšník. V restauraci na spropitném si každý den vyděláte sto korun, každý den stejné množství. Tak to je vidět úplně jednoznačně, že tady se jedná o lineární změnu. Víme, že za dva dny bude mít 200, za pět pět set, za deset dní rovnou tisícovku. Pořád nám to bude růst o jednu stejnou danou hodnotu. A máme hotovo.