Řešený příklad: bod, v němž funkce není spojitá

Máme zde tuto funkci f(x), která je po částech spojitá. Je definovaná na několika intervalech. Pro x větší než 0 a menší nebo rovno 2 je f(x) přirozený logaritmus x. Pro všechna x větší než 2 je f(x) rovno x na druhou krát přirozený logaritmus x. A my chceme najít limitu f(x) pro x blížící se ke 2. Na hodnotě 2 je zajímavé to, že jde o hraniční bod mezi těmito dvěma intervaly. Pokud chceme funkci vyčíslit v bodě 2, tak použijeme tento předpis. f v bodě 2… 2 je menší nebo rovno 2 a větší než 0, takže hodnotu f(2) už snadno zjistíme, je to přirozený logaritmus ze 2. Ale to nutně nemusí být rovno limitě. Abychom zjistili, čemu se rovná limita, tak se musíme podívat, jak vypadá limita zleva, jak vypadá limita zprava, zda vůbec existují, a pokud ano, tak jestli si jsou rovny. Pokud si budou rovny, tak budeme mít dobře definovanou oboustrannou limitu. Tak se do toho pusťme. Podíváme se na limitu f(x) pro x blížící se ke 2 zleva, po hodnotách menších než 2. V tomto případě se budeme pohybovat v tomto intervalu. Pracujeme s hodnotami menšími než 2, blížíme se ke 2 zleva. Bude tak platit tento předpis. Jelikož je tento předpis spojitý na intervalu, v němž se pohybujeme, určitě je spojitý pro všechny hodnoty x větší než 0 a menší nebo rovno 2, tak tato limita bude rovna tomuto předpisu vyčíslenému v bodě 2, protože je na tomto intervalu spojitý. Toto se tak bude rovnat přirozenému logaritmu ze 2. Nyní se zamysleme nad limitou zprava, pro hodnoty větší než 2. Tedy limita f(x) pro x blížící se ke 2 zprava. Přestože 2 spadá do tohoto intervalu, tak když se blížíme od hodnot větších než 2, tak platí tento případ. Takže se blížíme ke 2 a používáme tento předpis. Tento předpis je opět spojitý nejen pro všechny hodnoty x větší než 2, ve skutečnosti i pro hodnoty větší nebo rovny 2. V tomto případě tak můžeme použít stejný argument, že naše limita je rovna tomuto předpisu vyčíslenému v bodě 2. Pokud bychom pouze vyčíslili funkci v bodě 2, tak bychom použili tento předpis, ale my se blížíme zprava. Když se blížíme zprava, tak jsou hodnoty x větší než 2, a proto platí tento předpis. Nyní tedy vyčíslíme tento předpis v bodě 2, jelikož je spojitý. Toto se rovná 2 na druhou krát přirozený logaritmus ze 2, a to je rovno 4 krát přirozený logaritmus ze 2. Limita zprava tedy existuje, limita zleva také existuje, ale problém je, že jsou to dvě různé hodnoty. Zleva se blížíme k jiné hodnotě než zprava. Pokud bychom si nakreslili graf, tak bychom v grafu viděli skok. Viděli bychom zde nespojitost. Pro tento případ dochází k tzv. nespojitosti 1.druhu. Tato limita neexistuje, protože limita zleva a limita zprava se nerovnají. Tedy tato limita neexistuje.