Postup při určování limit

Ve vícero videích i cvičeních jsme si ukázali různé metody pro výpočet limit, ale někdy je užitečné mít strategii, pomocí níž nejprve určíme, kterou metodu použijeme. Právě na to se podíváme v tomto videu. Na obrazovce vidíte schéma, které připravil tým Khan Academy, a já ho teď podrobně rozeberu. Může se sice zdát trochu složité, ale snad vám bude dávat smysl, až si ho spolu projdeme. Naším cílem je spočítat limitu funkce f(x) pro x blížící se k ‚a‘. Naše schéma nám říká, co musíme udělat. Nejprve máme zkrátka za x dosadit ‚a‘. Máme spočítat f v bodě ‚a‘. Schéma říká, že pokud je f v bodě ‚a‘ rovno nějakému reálnému číslu, tak už máme hotovo. Ale pak je tu tento dodatek: „Pravděpodobně.“ Důvod je ten, že limita v bodě a funkční hodnota není to samé. Někdy se sobě rovnají, tak dokonce definujeme spojité funkce, o kterých jsme mluvili v dřívějších videích, avšak někdy se sobě nerovnají. Tohle nebude nutně platit, když pracujeme s nějakou funkcí, která má odstranitelnou nespojitost jako v tomto případě, nebo která má nespojitost 1.druhu, nebo s funkcí, která vypadá takto. V takových případech to nutně neplatí. Pokud je ale v bodě, v němž hledáme limitu… Když se blížíme k tomuto bodu… Pokud je funkce spojitá, tedy chová se nějak rozumně, tak je dobré mít tohle na paměti, položit si otázku: „Nemohl bych prostě spočítat funkční hodnotu v tomto bodě?“ Takže když pracujete s obyčejnými funkcemi jako x na 2, nebo když pracujete s racionálními výrazy jako je tento, nebo s goniometrickými funkcemi, tak pokud dokážete spočítat funkční hodnotu a je to reálné číslo, tak už máte nejspíš hotovo. Když pracujete s nějakou funkcí, pro niž platí v různých případech různé předpisy, tedy která je po částech definovaná, jak jsme viděli v předchozích videích, tak buďte opatrnější. Stejně tak když máte graf a víte, že blízko tohoto bodu funkce skáče, nebo že jde o jiný typ nespojitosti, musíte být také opatrnější, ale obecně je tohle užitečné pravidlo. Když máte co do činění s obyčejnými spojitými funkcemi a po dosazení čísla ‚a‘ za x vám vyjde reálné číslo, tak už to nejspíš bude i hodnota limity. Nyní se podívejme na ostatní možnosti. Co dělat, když nám po dosazení vyjde nějaké číslo dělené nulou? V tom případě jde nejspíše o svislou asymptotu. A co svislou asymptotou myslíme? Podívejme se na tento příklad. Limita… Udělám to tmavší barvou. Limita pro x blížící se k 1 z 1 lomeno (x minus 1). Když za x dosadíte 1, vyšlo by vám 1 lomeno (1 minus 1), což se rovná 1 lomeno 0, a to nám říká, že nejspíše půjde o případ asymptoty. Kdybyste chtěli lépe porozumět, co se v tomto bodě děje, nebo ověřit, že jde skutečně o svislou asymptotu, můžete dosadit různá čísla a udělat si graf. Řeknete si: „Dobře, bodem x rovno 1 mi nejspíš prochází svislá asmyptota,“ tohle bude moje svislá asymptota, a dosadíte si nějaké hodnoty. Když je x větší než 1, jmenovatel je kladný, tudíž můj graf… Takhle vám to vyjde, když dosadíte pár hodnot. Graf může vypadat nějak takto. A pro x menší než -1… Vlastně pro hodnoty menší než 1 vychází záporné hodnoty, a tak bude graf vypadat nějak takhle, takže zde máme svislou asymptotu, to se v tomto bodě nejspíš děje. V některých velmi speciálních případech o svislou asymptotu nepůjde. Příkladem může být 1 lomeno (x minus x). Tento výraz není definovaný pro žádné x, takže ani nemůžeme dostat svislou asymptotu. Ale to je velice speciální případ. Většinou je v daném bodě svislá asymptota. Ale co když nejde ani o jednu z těchto situací? Co když nám po dosazení do předpisu funkce vyjde 0 lomeno 0? Tady máme příklad. Limita pro x blížící se k -1 z tohoto racionálního výrazu. Zkusme dosadit. Vyjde -1 to na druhou, což je 1, minus -1, což je +1, minus 2, takže v čitateli vyšlo 0. Ve jmenovateli je -1 to na druhou, což je 1, minus 2 krát -1, což je +2, minus 3, a to se rovná 0. Tomu se říká neurčitý výraz. V našem schématu se tak musíme přesunout doprava, kde je několik metod pro práci s neurčitými výrazy. V blízké době se nejspíše naučíte další metodu, která používá L'Hospitalovo pravidlo. Na něj je třeba znát matematickou analýzu, zatímco na tyto metody to není třeba, v nich jde jen o algebraické úpravy a použití goniometrických identit. První, co můžete zkusit udělat, zejména když pracujete s racionálními výrazy jako tento a vyjde neurčitý výraz, je rozkládat na součin. Zkusit nějak zjednodušit tento výraz. Tento výraz lze rozložit na součin. To se rovná (x minus 2) krát (x plus 1) to celé děleno (x minus 3) krát (x plus 1). Pokud vám tohle vůbec není povědomé, doporučuji vám podívat se na video o rozkládání mnohočlenů na součin. Vidíte, že výraz můžeme zjednodušit, protože když se x nerovná -1, tyto dvě závorky můžeme pokrátit. Mohu tedy napsat, že tohle se rovná (x minus 2) lomeno (x minus 3), pro x je různé od -1. Tohle lidé občas zapomínají napsat, ale je to matematicky přesnější. Tyto dva výrazy jsou si nyní rovny, protože celý tento výraz také není definovaný pro x rovno -1, ačkoliv do něj můžeme za x dosadit -1 a vyjde nám nějaká hodnota. Když sem za x dosadíme -1, čímž už však tyto výrazy nebudou matematicky stejné, tak dostaneme -1 minus 2, což je -3, lomeno -1 minus 3, což je -4, a to se celkem rovná 3 lomeno 4. Kdyby zde tedy nebyla tato podmínka, mohli byste přímo dosadit. Tohle je obyčejná funkce, u které není důvod si myslet, že by se chovala nějak divně, takže pokud nyní za x můžu dosadit -1, tak to vypadá dobře. Takže nyní jsme rozložili na součin, zjednodušili, do zjednodušeného výrazu jsme dosadili a už nám vyšla nějaká hodnota. Vyšlo nám 3 lomeno 4. Takže tato limita se rovná 3 lomeno 4. To, co jsme si zatím ukázali, tvoří náplň většiny příkladů, se kterými se setkáte. Další dvě metody jsou, řekl bych, trochu zajímavější. Když vám vyjde neurčitý výraz, obzvláště při práci s výrazy obsahujícími odmocniny jako je tento, při práci s racionálními výrazy s odmocninou, můžete zkusit usměrňování výrazu. Pokud například v tomto případě za x rovnou dosadíte 4, vyjde odmocnina ze 4 minus 2 to celé děleno 4 minus 4, a to se rovná 0 lomeno 0, takže vyšel neurčitý výraz. Protože vidíme, že jde o racionální výraz s odmocninou, tak se budeme snažit nějak se odmocniny zbavit, nějak to zjednodušit. Přepíšu si to sem. (Odmocnina z x minus 2) lomeno (x minus 4). Nyní vynásobme (odmocninou z x plus 2) lomeno (odmocnina z x plus 2). Násobím výrazem děleným tím samým výrazem, takže nijak neměním hodnotu původního výrazu. Výraz se nyní rovná… Když máme (a plus b) krát (a minus b), dostaneme rozdíl jejich druhých mocnin, v našem případě to bude (odmocnina z x) to celé na druhou minus 4, a to celé děleno… (Odmocnina z x) to celé na druhou je jednoduše x, a pak ještě minus 4. Takže si to tady přepíšu. Je to x minus 4, to celé děleno (x minus 4) krát (odmocnina z x plus 2). Odmocnina z x plus 2. To mi docela pomohlo, protože mohu pokrátit x rovná se 4, nebo tedy spíše x minus 4. Kdybych nyní opět chtěl, aby šlo o matematicky stejné výrazy, tak bych řekl, že to je rovno 1 děleno (odmocnina z x plus 2) pro x různé od 4. Nyní už je jasně vidět, k čemu se tato funkce blíží, stačí do našeho zjednodušeného výrazu za x dosadit 4. Dostaneme 1 děleno… Když sem za x dosadíme 4, dostaneme 1 lomeno (odmocnina ze 4 plus 2), a to se rovná 1 lomeno 4. Opět si můžeme být poměrně jistí, že to je naše limita. Jsme nyní opět v zelené části schématu. Kdybyste si nakreslili graf této původní funkce, viděli byste odstranitelnou nespojitost, viděli byste mezeru v bodě x rovno 4. Když však provedete naše zjednodušení a pokrátíte x minus 4, tato mezera zmizí, a o to se v podstatě snažíme, chceme určit jaká je limita, když se blížíme k této mezeře. Poslední metoda spočívá v použití goniometrických identit, takže abyste ji mohli použít, musíte goniometrické identity dobře znát. Takže když máme limitu… Udělám to tmavší barvou. ...limita pro x blížící se k 0 ze sin(x) lomeno sin(2x), sin(0) je 0, takže opět dostaneme 0 lomeno 0. To je neurčitý výraz, takže jsme v této části schématu. Toto se bude rovnat limitě pro x blížící se k 0 ze sin(x)… sin(2x) můžeme přepsat jako 2 krát sin(x) krát cos(x). Tyhle siny se nám pokrátí pro všechna x různá od… Pro všechna x různá od 0, pokud chceme být opravdu matematicky přesní. V grafu původní funkce je v tomto bodě určitě mezera, kdybyste udělali graf funkce y je tento výraz. Ale když počítáme limitu, můžeme říci, že tato limita se rovná limita pro x blížící se k 0 z 1 lomeno (2 krát cos(x)). Nyní se můžeme vrátit do zelené části našeho schématu, protože nyní můžeme za x dosadit 0. Dostaneme 1 lomeno (2 krát cos(0)), cos(0) je 1, takže tohle se bude rovnat jedna polovina. Pokud vám ani jedna z těchto metod nefunguje, přičemž se v budoucnu setkáte ještě s dalšími pokročilejšími metodami, tak dojde na tento případ. Určení přibližné hodnoty. To uděláte tak, že budete zkoušet hodnoty velmi, velmi, velmi blízko k bodu, ve kterém počítáte limitu. Takže když počítáte limitu pro x blížící se k 0, zkuste 0,00000000001, zkuste -0,0000001. Když počítáte limitu pro x blížící se ke 4, zkuste 4,0000001, zkuste 3,9999999999 a uvidíte, co se stane. To už je ale spíš takové chytání se stébla trávy.