Limity složitějších funkcí: po částech definované funkce

Máme za úkol spočítat tyto tři limity. Jako vždy vám doporučuji si video zastavit a zkusit si to vyřešit samostatně, než začneme. Když počítáte tuto první limitu, mohlo by vás napadnout najít limitu f(x) pro x blížící se k −2 a poté limitu pro x blížící se k −2 z funkce g a pak tyto limity sečíst. Ale brzy byste narazili na problém. Když totiž určujeme limitu funkce f pro x blížící se k −2, tak když se k −2 blížíme zleva, hodnoty se blíží k 1. A když se k x rovno −2 blížíme zprava, hodnoty se blíží ke 3. Takže limita funkce f pro x blížící se k −2 neexistuje a totéž platí pro funkci g(x). Když se blížíme zleva, hodnoty jdou ke 3, když se blížíme zprava, hodnoty jdou k 1. Ale tato limita stále může existovat, pokud limita pro x blížící se k −2 zleva ze součtu funkcí f(x) a g(x) existuje a je rovna limitě pro x blížící se k −2 zprava ze součtu funkcí f(x) a g(x). A čemu se rovnají tyto limity? Když se k −2 blížíme zleva, hodnoty funkce f(x) se blíží k 1 a hodnoty funkce g(x) se blíží ke 3, takže se blížíme k 1 a 3, a tudíž součet funkcí se blíží ke 4. Když se blížíme zprava, hodnoty funkce f se blíží ke 3 a hodnoty funkce g(x) se blíží k 1 a tak se tato limita opět rovná 4. Protože se limity zleva a zprava rovnají, tato limita existuje a je rovna 4. Přesuňme se k další limitě, tentokrát pro x blížící se k 1. Budeme dělat úplně to samé. A když se opět podíváte na limity funkce f zleva a zprava pro x blížící se k 1, oboustranná limita neexistuje, ale limita pro x blížící se k 1 ze součtu funkcí existovat může, takže to pojďme zkusit. Limita pro x blížící se k 1 zleva ze součtu f(x) plus g(x) se rovná čemu? Když se k 1 blížíme zleva, hodnoty f se blíží ke 2. Toto píšu jen jako zkrácený zápis. A hodnoty g, když se blížíme k 1 zleva, jdou k 0. Takže tohle se blíží k 2 plus 0, což je 2. A limita pro x blížící se k 1 zprava ze součtu f(x) plus g(x) se bude rovnat? Když se blížíme k 1 zprava, hodnoty f se blíží k −1. A hodnoty g, když se blížíme k 1 zprava, jdou opět k 0. Takže celkem se blížíme k −1. Limity zleva a zprava se nerovnají, takže tato limita neexistuje. A konečně limita pro x blížící se k 1 z f(x) krát g(x). Uděláme opět to samé. Limita pro x blížící se k 1 zleva ze součinu f(x) krát g(x). Můžeme využít už toho, co jsme zjistili dříve. Když jsme se k 1 blížili zleva, hodnoty se blížily ke 2, takže tohle je 2, a když se k 1 blížíme zleva tady, hodnoty se blíží k 0. Takže se blížíme k 2 krát 0, což je 0. A když se blížíme k 1 zprava… Limita pro x blížící se k 1 zprava z f(x) krát g(x). Už jsme viděli, že když se k 1 blížíme zprava, hodnoty funkce f se blíží k −1 a hodnoty funkce g se, když se blížíme k x rovno 1 zprava, blíží k 0. Takže tohle bude opět 0. A tedy tato limita existuje. Limity zprava a zleva jsou stejné a rovnají se 0. Toto jsou poměrně zajímavé příklady, protože někdy by člověk řekl, že když jednotlivé limity neexistují, tak ani limita součtu či součinu neexistuje, ale zde jsme měli minimálně dva příklady toho, že to tak nemusí být.