Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro druhé odmocniny

Byl jsem požádán, abych udělal důkaz derivace druhé odmocniny z x. Tak jsem si řekl, že vytvořím rychlé video dokazující derivaci druhé odmocniny z x. Z definice derivace víme, že derivace funkce druhá odmocnina z x je rovna... jen změním barvy pro přehlednost je rovna limitě, kde se delta x blíží k 0. Někteří lidé říkají, že h se blíží k 0 nebo d se blíží k 0. Já používám delta x. Tedy změna x se blíží k 0. A následně říkáme f(x) plus delta x. Toto je naše f(x), Tedy druhá odmocnina z x plus delta x minus f(x), což je v tomto případě druhá odmocnina z x. Toto celé lomeno změna x, tedy delta x. Když se na to teď podívám, tak tu toho není moc, co bych mohl zjednodušit, abych dostal něco smysluplného. Já vynásobím tento zlomek, čitatele i jmenovatele, výrazem s odmocninou jako v čitateli. Myslím toto. Limita, kde delta x se blíží k 0, jen přepíši to, co už mám zde. Tedy druhá odmocnina z (x plus delta x) minus druhá odmocnina z x. Toto celé lomeno delta x. A toto vynásobím... jen co si změním barvu ...krát druhá odmocnina z (x plus delta x) plus druhá odmocnina z x. Lomeno druhá odmocnina z (x plus delta x) plus druhá odmocnina z x. Toto je 1, mohu tímto výrazem tedy násobit. Předpokládáme, že hodnoty x a delta x nejsou obě zároveň 0. Tedy, že toto je definovaná hodnota a toto bude 1. A můžeme to udělat. Toto bude 1 lomeno 1, tím pouze násobíme tento výraz. Dostáváme limitu, kde delta x se blíží k 0. Toto je (a minus b) krát (a plus b). Napíši to sem, trochu bokem. Víme, že (a plus b) krát (a minus b) je rovno druhá mocnina a minus druhá mocnina b. Takže toto je (a plus b) krát (a minus b). Toto tedy bude druhá mocnina a. Takže čemu se rovná mocnina tohoto nebo tohoto, oba výrazy jsou moje a. To bude prostě jen x plus delta x. Co je potom druhá mocnina b? Tedy minus, odmocnina z x je b, v tomto případě, tedy, druhá mocnina odmocniny z x je jen x. A toto celé lomeno delta x krát (druhá odmocnina (x plus delta x) plus druhá odmocnina z x). Pojďme se podívat, jak si výraz můžeme zjednodušit. Zde máme x a minus x, toto můžeme tedy vyrušit. Potom tu máme delta x v čitateli i ve jmenovateli. Můžeme tedy vydělit čitatele a jmenovatele delta x. Tedy dostáváme zde 1 a zde 1. Toto je tedy rovno limitě, kde se delta x blíží k 0 funkce 1 lomeno druhá odmocnina (x plus delta x) plus druhá odmocnina z x. Nyní můžeme přímo použít limitu, která se blíží k 0. Můžeme říct, že delta x je rovna 0. To je to, k čemu se blíží. Takže toto je rovno 1 lomeno druhá odmocnina x. Delta x je 0, toto tedy můžeme ignorovat. Můžeme použít limitu až do 0. A toto je samozřejmě jen druhá odmocnina z x. A to se rovná 1 lomeno 2 krát odmocnina z x. A to je rovno jedna polovina x na minus jednu polovinu. Právě jsme tedy dokázali, že x na jednu polovinu, derivace tohoto je jedna polovina x na minus jednu polovinu. Je to tedy konzistentní s obecnou vlastností, že derivace x na n je rovna n krát x na (n-1). I když v tomto případě bylo n jedna polovina. Věřím, že takto je důkaz dostatečný. Nedokazoval jsem to pro všechny zlomky, ale toto je začátek. Toto je častá funkce a věřím, že relativně snadná na dokázání. Uvidíme se u dalších videí.