Derivace jako sklon křivky

V tomto videu bych na pár příkladech rád vyzkoušel naši intuici ohledně derivace, ať už na ni nahlížíme jako na rychlost změny funkční hodnoty, strmost křivky, sklon křivky nebo směrnici tečny ke křivce. V zadání máme první derivaci v bodě 5. Tohle značení, tato čárka, je jen způsob jak říci: „Čemu se rovná derivace? Odhadněme hodnotu derivace funkce f v bodě 5.“ Když říkáme první derivace funkce f v bodě 5, tak jde o směrnici tečny v bodě 5, nebo na to lze nahlížet jako na rychlost změny hodnoty y vzhledem k x, přičemž přesně takhle definujeme směrnici vzhledem k x funkce f. Tak se nad tím zamysleme. Vidíme, že zde je vyznačen bod [5;f(5)]. Chceme-li tedy odhadnout směrnici tečny, neboli strmost této křivky, můžeme zkusit nakreslit přímku, která bude v tomto bodě tečnou. Tak já to zkusím. Přímka, která má v tomto bodě být tečnou, by mohla vypadat nějak takto. Vypadá to, že dobře odpovídá tomu, jak je v tomto bodě křivka strmá. Zajímavé je na tom to, že strmost se neustále mění. V tomto bodě je strmost malá, ale pak je čím dál větší, když jdeme směrem doprava, tedy když máme větší a větší hodnoty x. Pokud se nyní podíváme na bod ze zadání, bod x rovná se 5, tak odhadem první derivace funkce f v bodě 5 by byla směrnice této přímky. Vypadá to, že kdykoliv se na přímce posuneme o 1 ve směru osy x, tak se posuneme o 2 ve směru osy y. Změna y se tedy rovná 2 a změna x je rovna 1. Takže změna y vzhledem k x pro naši tečnu, která představuje změnu y vzhledem k x v tomto bodě, se rovná 2 děleno 1, a to je 2. Je to sice jen náš odhad, ale všechny ostatní možnosti jsou podstatně jiné. Derivace rovná -2 by znamenala, že když x roste, y klesá. Kdyby naše křivka vypadala nějak takto, měla by sklon rovný -2. Kdyby měla křivka sklon 0,1, tak by byla velmi rovná. Někde tady dole by naše křivka mohla mít sklon blízko 0,1. Sklon -0,1 by mohl být na této straně, křivka sice směřuje dolů, ale je téměř rovná. Sklon rovný 0 je úplně dole, protože právě v tuto chvíli y neroste ani neklesá. Směrnice tečny v tomto dolním bodě je rovna 0. Naše odpověď tedy vypadá dobře. Udělejme si ještě jeden příklad. Máme porovnat derivaci funkce g v bodě 4 a v bodě 6 a říci, která z nich je větší. Jako vždy si zastavte video a zkuste na to přijít sami. Když si uděláme přímku, která ukazuje sklon této křivky, můžeme se na ni dívat jako na tečnu… … Přímka, kterou jsem právě nakreslil, docela dobře ukazuje, jaká je rychlost změny hodnoty y vzhledem k x, neboli jaký je sklon této křivky. Také lze na tuto přímku nahlížet jako na tečnu a ptát se, jaká je její směrnice. Když se nyní přesuneme sem dolů, tak to vypadá, že křivka je strmější, a to v záporném směru. Křivka je zde určitě strmější, ale v záporném směru. Když zde x zvětšíme o 1, y se zhruba o 1 zmenší. Vypadá to tedy, že derivace g v bodě 4, tedy derivace pro x rovno 4, je přibližně rovna -1, zatímco když zde zvětšíme x o 1, tak se y zmenší skoro o 3. Derivace g v bodě 6 se tudíž zdá být blízko -3. Která z derivací je tedy větší? Tato derivace je méně záporná, takže je větší než ta druhá. Tohle se dá zvládnout i intuitivně. Když se podíváte na tuto křivku, která vypadá jako nějaká sinusoida, tak zde je křivka rovná, protože v tomto bodě není žádná změna y vzhledem k x, potom křivka stále rychleji klesá, následně sice pořád klesá, ale už stále pomaleji, v tomto bodě je směrnice tečny rovna 0, načež křivka začíná stoupat a tak pořád dokola. Na tuto úlohu lze tedy nahlížet i intuitivněji.