Derivace x² v libovolném bodě za pomoci formální definice

Minule jsme spočítali směrnici v daném bodě funkce y rovná se x na druhou. Dnes to zkusíme zobecnit a najít vzorec pro výpočet směrnice v kterémkoli bodě. Překreslím si funkci sem dolů, neuškodí mít hezký obrázek. Tohle je osa y. Tady je osa x. Nakreslím sem graf mojí funkce, stejný jako minule. y rovná se x na druhou. Takže teď úplně obecně. Napíšu sem definici derivace. Dejme tomu, že tady leží bod x a my chceme zcela obecně… Chceme spočítat směrnici v bodě x. Potřebujeme funkci, do které vložíme x a dostaneme směrnici funkce v bodě x. To se značí f s čarou x, což je první derivace f(x). Přičemž f je funkce, do které dosadím x a dostanu y, to je vidět tady v grafu. Když x dosadím do f s čarou, nedostanu hodnotu f(x), ale směrnici f v bodě x. Pokud například dosadím 3, dostanu v tom bodě směrnici 6, jak víme z minula. A přesně to chceme. Připomeňme si definici první derivace f(x) z předminulého videa. První derivace f(x) je směrnice sečny, jež prochází body x a bodem kousek dál než x. y má ve 2. bodě hodnotu f(x + h). Abychom zjistili, jak se změnilo y, odečteme f(x). To celé dělíme tím, jak se změnilo x, tedy x plus h minus x, (2. bod minus 1. bod). Tahle vzdálenost je prostě jenom h, změna x se rovná h. Tenhle vzorec vyjadřuje jen směrnici sečny určené dvěma takovými body. A směrnici tečny můžeme odvodit od sečny, pro kterou se h limitně blíží nule. Vzorec teď vztáhneme na konkrétní funkci: y rovná se x na druhou, f(x) se rovná x na druhou, takže tady leží bod [x;x na druhou]. Tenhle bod, použiji jinou barvu, bude mít pozici [x plus h;(x plus h) na druhou]. Minule jsme počítali směrnici pro jedno konkrétní x, číslo 3. Dneska chci obecný vzorec, který bude fungovat pro jakékoli číslo. Mám obecnou funkci, do které dosadím 7 a dostanu směrnici v bodě, kde x je 7. Dosadím -3, dostanu směrnici v bodě -3. Dosadím 100 000, dostanu směrnici v bodě 100 000. Pojďme vzorec vztáhnout na naši funkci. Takže chceme změnu y vydělit změnou x. Změnu y počítáme jako hodnotu y ve 2. bodě, což je x plus h na druhou… Jen jsem x plus h umocnil na druhou, protože y se rovná x na druhou. Minus hodnota y v 1. bodě, což je x na druhou, y rovná se x na druhou. Takhle spočítáme změnu y. Tahle vzdálenost, delta y. Můžete vidět v naší definici derivace, tento modrý výraz odpovídá 1. výrazu tady. Jen jsme vzorec dosadili do předpisu naší funkce: f(x) se rovná x na druhou. Jen jsme sem dosadili x plus h. Kdybych dosadil ‚a‘, tak ‚a‘ na druhou. Kdybych dosadil jablko, jablko na druhou. Dosadil jsem x plus h, tak mám x plus h na druhou, odpovídá to tomuhle. A tomuhle zase odpovídá funkční hodnota v 1. bodě. Takže už máme změnu y, teď ji vydělíme změnou x. Ve 2. bodě je to x plus h, v 1. jen x, takže rozdíl je h, což zase odpovídá naší definici. Už tedy známe směrnici sečny, jež prochází těmito body. My ale chceme, aby se rozdíl mezi body blížil k nule, a my tak dostali tečnu. Proto hledáme limitu pro h blížící se nule. To je první derivace f(x). Je to ten samý vzorec jako z definice, jen jsme ho vztáhli na konkrétní funkci. Dosadili jsme funkční hodnoty, místo f(x) jsme napsali x na druhou, místo x plus h jsme napsali x plus h na druhou. Zkusíme teď tu limitu spočítat. Tohle bude limita, když se h blíží k nule. Umocním závorku, použiji stejnou barvu, x na druhou plus 2xh plus h na druhou. A pak tady máme minus x na druhou, jen jsem tohle roznásobil a to celé lomeno h. Zkusíme to ještě trochu zjednodušit, x na druhou a -x na druhou se odečtou, a pak můžeme celý zlomek vykrátit h a máme první derivace f(x) se rovná 2x plus h. Pardon, zapomněl jsem na limitu, ta je důležitá! Rovná se to limitě pro h blížící se 0, čitatele vydělíme h, dostaneme 2x plus h. Výsledek je podobný jako v minulém videu. Minule jsme si na ose x zvolili číslo 3 a dostali 6 plus delta x. No a pokud se h blíží k nule, tohle zmizí a nám zbude 2x. A došli jsme k důležitému závěru! Tohle je vzrušující! Jestliže se f(x) rovná x na druhou, pak se první derivace x rovná 2x. Tohle je důležité správně pochopit. Pokud do f(x) dosadíme hodnotu, dostaneme funkční hodnotu v bodě x. Když stejnou hodnotu dosadím do f(x) s čárkou, dostanu směrnici funkce. Raději to nakreslím, tohle je zásadní myšlenka. A zpočátku může být matoucí přemýšlet o funkci vyjadřující směrnici jiné funkce. Bude vypadat nějak takhle… Nakreslím ji trochu hezčí. Pořád není dost hezká. Konečně, tohle je celkem uspokojivé. Nakreslím ji jen v kladném kvadrantu, ta křivka bude vypadat nějak takhle. Tohle je graf funkce f(x) rovná se x na druhou. Takže pokud si zvolíme například číslo 7, umocníme ho na druhou a dostaneme 49. Tenhle bod má souřadnice [7;49], funkce se chová, jak jsme zvyklí. Kolik však bude první derivace f(7)? Dvakrát 7 se rovná 14. Co to znamená? 14 je směrnice tečny v bodě, kde x je 7. Takže kdybych tady načrtnul tečnu… Tohle nevypadá dostatečně jako tečna. Tak, tudy vede tečna, však chápete. Směrnice této tečny, tedy změna y děleno změnou x, se bude rovnat 14. Křivka je v tomto bodě opravdu strmá. Najdeme směrnici třeba v bodě, kde x je 2. V bodě 7 je směrnice 4, jaká pak je v bodě 2? První derivace f(2) je dvakrát 2, což se rovná 4. Takže v bodě, kde x je 2 se směrnice bude rovnat 4. Směrnici značíme 'm'. Kolik bude první drivace f(0)? Víme, že f(0) je 0 na druhou, tedy 0. No a dvakrát 0 se taky rovná 0, ale co to vlastně znamená? Znamená to, že směrnice tečny je 0, což odpovídá, protože v bodě 0 je vodorovná. Zkusíme další, například bod, kde x je -1. Takže f(-1) je -1 na druhou, tedy 1. Kolik ale bude první derivace f(-1)? Dvakrát -1 se rovná -2, co to znamená? Znamená to, že směrnice tečny v tomto bodě je -2. Bude vypadat nějak takhle. Dává to smysl, tečna má sklon dolů, takže směrnice v tomto bodě bude -2.