Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: stín sovy

Je pozdě k večeru a nějaký dravý noční pták, třeba sova, loví svoji večeři. Tohle tedy bude nějaká myš. Sova se snáší směrem přímo dolů poblíž pouliční lampy. Dále víme několik dalších věcí. Pouliční lampa má výšku 20 stop. Přesně v tuto chvíli, i když tomu moje měřítko možná úplně neodpovídá, se sova nachází 15 stop nad myší. Myš samotná se nachází 10 stop od lampy. Dále víme, že v tuto chvíli sova letí přímo dolů rychlostí 20 stop za sekundu. A co nás zajímá je... Lampa vyzařuje do všech stran světlo, díky čemuž se utvořil stín sovy, který je právě teď tady. Jak sova letí víc a víc dolů, její stín se pohybuje směrem doleva. Takže když víme tohle všechno, moje otázka zní: Jak rychle se stín hýbe? Zamysleme se nad tím, co víme a co nevíme. Za tím účelem si zavedeme několik proměnných. Nakreslím si teď to samé, ale trochu víc geometricky. Tohle bude pouliční lampa, která je 20 stop vysoká. Toto bude výška, ve které se sova momentálně nachází, tedy 15 stop. Vzdálenost mezi lampou a místem, kam letí sova, tedy myší, je 10 stop. Teď se zamyslíme, kde bude stín sovy. Světlo je vyzařováno odsud a sova ho takto blokuje, takže její stín je tady. Když tedy nakreslíme úsečku od zdroje světla procházející sovou až na zem, tak zjistíme, kde bude stín sovy. Její stín bude tady. Naším úkolem je zjistit, jak rychle se stín hýbe, přičemž víme, že se hýbe směrem doleva. Teď si zavedeme několik proměnných. Které hodnoty se mění? Víme, že výška sovy se mění, tak si ji označme třeba jako y. Přesně v tuhle chvíli se rovná 15, ale stále se mění. Vzdálenost mezi stínem sovy a myší si označme jako x. Dokážeme nyní přijít na nějaký vztah mezi x a y? Pomocí tohoto vztahu pak budeme chtít zjistit, jaká je změna x v průběhu času. Víme, čemu se v tuto chvíli rovná y i dy lomeno dt. Dokážeme najít nějaký vztah mezi x a y, zderivovat ho podle t, a tím zjistit, čemu se v danou chvíli rovná dx lomeno dt? Oba tyto trojúhelníky... Když říkám „oba tyto trojúhelníky“, měl bych ujasnit, o čem přesně mluvím. Tento menší zelený trojúhelník je podobný tomuto většímu modrému trojúhelníku. Jak jsem na to přišel? Oba mají jeden pravý úhel a dále mají společný tento úhel, a když jsou dva jejich úhly stejně velké, pak už je i velikost třetího úhlu stejná, tudíž jde o podobné trojúhelníky, takže odpovídající strany mají délky ve stejném poměru. Víme tedy, že poměr x ku y se musí rovnat poměru délky celé této strany, což je x plus 10, ku příslušné výšce ve větším trojúhelníku, která se rovná 20. Teď už máme vztah mezi x a y, a když teď obě strany zderivujeme podle t, tak budeme na dobré cestě. Ještě předtím, než budu derivovat podle t, což bych mohl udělat už teď, si to trochu zjednoduším a rovnici zbavím lomených výrazů. Obě strany rovnice vynásobím 20 a y, abych nemusel pracovat se jmenovateli. Na levé straně mi zbyde 20 krát x, přičemž na levé straně... Pardon, na levé straně bude 20 krát x a na pravé straně bude... Tohle se pokrátí, takže zbyde x krát y plus 10 krát y. Nyní obě strany zderivuji podle času. Derivace (20 krát něco) podle času je derivace (20 krát něco) podle toho něčeho, což je jednoduše 20, protože jde o derivaci (20 krát x) podle x, krát derivace x podle t. Tohle se rovná... Nyní budeme muset použít vzorec pro derivaci součinu. Nejprve tu bude derivace x podle času, tedy derivace prvního činitele, vynásobená druhým činitelem, tedy krát y, plus první činitel krát derivace druhého činitele, přičemž derivace y podle t je jednoduše dy lomeno dt, a konečně derivace (10 krát y) podle t je derivace (10 krát y) podle y, což je 10, krát derivace y podle t, což je dy lomeno dt. Teď už máme vztah mezi dx lomeno dt, dy lomeno dt, x a y. Nyní už máme vše, co potřebujeme. Tohle je naše neznámá, dx lomeno dt. Tady je další dx lomeno dt, to budeme chtít spočítat. Víme, čemu se rovná y, y se rovná 15. Víme také, čemu se rovná dy lomeno dt. Protože y klesá, tak můžeme říct, že dy lomeno dt se rovná −20, takže víme, čemu se rovná i tohle. A když víme i... Taky víme, čemu se rovná tohle. Takže když víme i čemu se rovná x, můžeme rovnici vyřešit pro dx lomeno dt. Čemu se tedy v tuto chvíli rovná x? Můžeme použít tuhle první rovnici nebo i tu úplně nahoře, ale tahle je už trochu zjednodušená a lépe z ní spočítáme x. Takže to teď udělejme a poté za x dosadíme do naší zderivované rovnice. Máme, že 20 krát x se rovná x krát y, přičemž y se rovná 15... Mohl jsem použít tuto rovnici, ale tahle už je po vynásobení o krok zjednodušená. ...x krát y, přičemž y se rovná 15, takže x krát 15, plus 10 krát y, takže plus 10 krát 15. Tedy 20 krát x se rovná x krát 15 plus 10 krát 15. Když nyní odečteme... Tohle je 20 krát x se rovná 15 krát x plus 150. Když od obou stran odečteme 15 krát x, dostaneme, že 5 krát x se rovná 30, a teď vydělíme... Pardon, už myslím dopředu, 5 krát x se rovná 150. Obě strany nyní vydělíme 5 a dostaneme, že v tuto chvíli se x rovná 30 stop. Když se vrátíme k původnímu obrázku, tak tato vzdálenost je 30 stop. Nyní dosadíme všechny známé hodnoty do této rovnice a spočítáme dx lomeno dt. Máme, že 20 krát dx lomeno dt... Napíšu to oranžovou, i když tu jsem vlastně už použil, tak raději růžovou. 20 krát dx lomeno dt se rovná dx lomeno dt krát y, přičemž y je v tuto chvíli 15 stop, takže krát 15 plus x, a my už víme, že x je 30, takže plus 30 krát dy lomeno dt... Čemu se rovná dy lomeno dt? Můžeme říci, že dy lomeno dt se rovná −20 stop za sekundu. Hodnota y totiž klesá, protože sova letí dolů, aby ulovila svoji večeři. ...krát −20 stop za sekundu plus 10 krát dy lomeno dt, takže plus 10 krát −20 stop za sekundu. Teď jen vyřešíme rovnici pro dx lomeno dt. Máme 20 krát... Od obou stran rovnice odečtu 15 krát dx lomeno dt, zbyde mi 5 krát dx lomeno dt... Jen jsem tohle odečetl od obou stran rovnice. Tady je 15 krát dx lomeno dt, tady 20 krát, takže máme 5 krát dx lomeno dt. To se rovná... Tahle část se rovná −600 a tato část je −200, takže to se rovná −800 stop za sekundu, nebo jen −800, ale skutečně půjde o stopy za sekundu. dx lomeno dt se tedy rovná, když obě strany vydělíme 5... 5 krát 16 je 80, takže tady bude −160 stop za sekundu. A máme hotovo. Vidíme, že stín se pohybuje velmi rychle doleva. Hodnota x se zmenšuje, proto zde taky máme záporné znaménko. Hodnota x se zmenšuje, stín jde směrem doleva, a to poměrně velkou rychlostí.