Řešený příklad: Úloha na přímočarý pohyb řešená pomocí derivací

Hmotná částice se pohybuje podél osy x. Funkce x(t) udává polohu této částice v libovolném čase t větším nebo rovno 0. Zde máme předpis funkce x(t). Jaká je rychlost v(t) této částice v čase t rovno 2? Zastavte si teď video a zkuste na to přijít sami. Hlavní je si uvědomit, že rychlost jakožto funkce času je rovna derivaci polohy, která se rovná... Tohle musíme zderivovat podle t. Derivace (t na třetí) podle t je 3 krát (t na druhou). Pokud vám to není povědomé, tak doporučuji podívat se na vzorec pro derivaci mocniny. Derivace výrazu −4 krát (t na druhou) podle t je −8 krát t. Derivace (3 krát t) podle t je +3. Derivace konstanty, která se v průběhu času nemění, je rovna 0. Získali jsme tedy rychlost jako funkci času. Když chceme znát rychlost v čase t rovná se 2, tak musíme všude za t dosadit 2. Vyjde nám 3 krát 4, protože to je 3 krát (2 na druhou), takže zde bude 12 minus (8 krát 2), tedy 12 minus 16, a ještě plus 3, což se celé rovná −1. Možná si říkáte, že jenom číslo −1 nevypadá zrovna jako nějaká rychlost. Pokud bychom měli zadané jednotky, pokud by bylo řečeno, že ‚x‘ je v metrech a ‚t‘ v sekundách, tak by x bylo... Už jsem řekl, že to bude v metrech, a rychlost by byla −1 metr za sekundu. Také si možná říkáte, co znamená to minus. Znamená to, že se pohybujeme směrem doleva. Vzpomeňme si, že částice se pohybuje podél osy x, takže pokud je rychlost záporná, tak to znamená, že x klesá, tedy že jdeme směrem doleva. Jaké je zrychlení a(t) této částice v čase t rovno 3? Opět si zastavte video a zkuste to spočítat. V tomto případě je třeba si uvědomit, že zrychlení jakožto funkce času je derivace rychlosti, která je rovna druhé derivaci polohy, a to se rovná derivaci tohohle. Vyjde nám, že to je... Derivace výrazu 3 krát (t na druhou) podle t je 6 krát t. Derivace (−8 krát t) podle t je −8 a derivace konstanty je 0, takže to bude 6 krát t minus 8. Zrychlení částice v čase t rovná se 3 je tedy 6 krát 3, což je 18, minus 8, což se rovná +10. Dále se nás ptají, kterým směrem se částice pohybuje v čase t rovná se 2. O tom už jsem sice mluvil, ale zastavte si video a zkuste na to odpovědět sami. Už jsme si říkali, co znamená tohle znaménko. Když máme u rychlosti minus, tak to znamená, že se pohybujeme doleva. Vybereme tedy tuto možnost. V čase t rovná se 3 velikost rychlosti částice roste, klesá, nebo ani jedno? Zastavte si video a zkuste na to odpovědět. U této otázky musíme být velmi opatrní. Kdyby se ptali, zda rychlost částice roste, klesá, nebo ani jedno z toho, tak by se stačilo podívat na zrychlení, které vidíme, že je kladné, z čehož už plyne, že rychlost roste. V otázce však není rychlost, ale velikost rychlosti. Připomeňme si, že velikost rychlosti je její absolutní hodnota. Například v čase t rovná se 2 je naše rychlost −1. Kdyby jednotkou byly metry za sekundu, tak by to bylo −1 metr za sekundu. Velikost rychlosti je však 1 metr za sekundu. U velikosti rychlosti zanedbáváme směr, takže u ní nebude tohle znaménko. Abychom tedy zjistili, zda velikost rychlosti roste, klesá, nebo ani jedno, tak pokud je zrychlení kladné a rychlost je také kladná, tak to znamená, že velikost rychlosti roste. Pokud je rychlost záporná a zrychlení je také záporné, tak to rovněž znamená, že velikost rychlosti roste. Když však rychlost a zrychlení mají rozdílná znaménka, tak velikost rychlosti klesá. Velikost rychlosti se bude zmenšovat. Podívejme se tedy, jaká je naše rychlost v čase t rovno 3. Rychlost v čase 3... Musíme se vrátit sem. Bude to 3 krát 9, což je 27... 3 krát (3 na druhou) je 27. ...minus 24 plus 3, což se celkem rovná 6. Rychlost i zrychlení mají tedy můžeme říct stejný směr. Obě jsou to kladná čísla. Naše rychlost se tedy stane ještě víc kladnou, neboli velikost naší rychlosti vzroste. Velikost rychlosti tedy roste. Kdyby naše rychlost v čase t rovná se 3 byla záporná, tak by velikost naší rychlosti klesala, protože zrychlení a rychlost by měly opačný směr.