L'Hospitalovo pravidlo: příklad s parametrem

Máme tu jeden zajímavý příklad. Najděte takové číslo ‚a‘, že limita pro x blížící se k 0 z odmocniny z (4 plus x) minus odmocnina z (4 minus ‚a‘ krát x), to celé lomeno x, se rovná 3 lomeno 4. Jako vždy vám doporučuji si video zastavit a zkusit to vyřešit sami. Když jste si to teď už zkusili, pojďme to vyřešit společně. Když zkusíte do výrazu v limitě dosadit... x se blíží k 0, takže když zkusíte za x dosadit 0, dostanete... Limita pro x blížící se k 0 z odmocniny z (4 plus x) minus odmocnina z (4 minus ‚a‘ krát x), to celé lomeno x. Tohle bude po dosazení odmocnina ze 4, protože 4 plus 0 je 4. Zde bude také odmocnina ze 4, protože ať už je ‚a‘ cokoliv, ‚a‘ krát 0 se vždy rovná 0, tudíž mi zbyde 4 minus 0, a tak tu bude odmocnina ze 4. Tohle se rovná 2 poté, co dosadíme za x. Tento výraz se bude také rovnat 2, takže zde bude 2 minus 2. x se blíží k 0, a tak zde bude 0. Vypadá to tedy, že nám vyšel neurčitý výraz. Když vám vyjde něco jako tohle, tak si začnete říkat: „Což takhle použít l'Hospitalovo pravidlo?“ Máme-li 0 lomeno 0 nebo nekonečno lomeno nekonečno... Tato limita se rovná limitě pro x blížící se k 0 z derivace čitatele lomené derivací jmenovatele. Čemu se tedy rovná derivace čitatele? Nejdřív ale udělám derivaci jmenovatele, protože derivace x podle... Udělám to jinou barvou. ...derivace x podle x se rovná 1. Teď už půjdeme na derivaci čitatele. Derivace tohohle podle x... Tohle je (4 plus x) na jednu polovinu, takže derivace tohohle je (1 lomeno 2) krát (4 plus x) na minus jednu polovinu. Derivace tohoto výrazu je tedy... Zde jsme použili derivaci složené funkce, avšak derivace (4 plus x) je 1, takže tento výraz jsme jen vynásobili 1. V tomto případě je ale derivace (4 minus ‚a‘ krát x) podle x rovna −a, takže tím musíme vynásobit, a navíc je tady tohle minus. Píšu tu proto plus ‚a‘ krát (1 lomeno 2) krát (4 minus ‚a‘ krát x) na minus jednu polovinu. K derivaci tohoto jsem tedy použil derivaci mocniny a složené funkce. Čemu se tohle rovná? Tohle se rovná něco lomeno 1. Když se x blíží k 0, tak tato část je... 4 plus 0 je 4, toto na minus jednu polovinu, což se rovná jedna polovina. 4 na jednu polovinu je 2, 4 na minus jednu polovinu je jedna polovina. Když se x blíží k 0 tady, tak dostaneme 4 na minus jednu polovinu, což je opět jedna polovina. Čemu se toto tedy rovná? Polovina krát polovina je jedna čtvrtina, to je tato část, a zde máme ‚a‘ krát jedna polovina krát jedna polovina, to bude plus ‚a‘ lomeno 4. Toto se tedy rovná ‚a‘ plus 1, to celé lomeno 4. V zadání máme, že tento výraz se musí rovnat 3 lomeno 4. Toto se musí rovnat 3 lomeno 4, takové je zadání naší úlohy. Tohle se musí rovnat 3 lomeno 4. Nyní už je jednoduché zjistit, čemu se musí rovnat ‚a‘. ‚a‘ plus 1 se musí rovnat 3, takže ‚a‘ se rovná 2. A máme hotovo.