Druhá derivace (implicitní rovnice): vyčísli derivaci

Mám tu zadání úlohy z testu AP Calculus z roku 2015. 'Rovnice y na druhou minus xy rovná se 2 je zakreslena do grafu, pro který platí, že první derivace y podle x se rovná y lomeno (3 y na druhou minus x).' Takže výchozí část vyřešili za nás, a já přeskočil až k části C, která zní: Určete hodnotu druhé derivace y podle x v bodě x rovno minus 1 a y rovno 1. Zastavte video a zkuste to nejdříve vyřešit sami. Projdeme si nyní společně řešení, přepíšu si sem první derivaci. První derivace y podle k x se rovná y lomeno (3y na druhou minus x). A protože nás zajímá druhá derivace, obě strany chceme zderivovat podle x. Přesně to teď udělám, takže na levé straně dostaneme druhou derivaci y podle x. Co však dostaneme vpravo? Existuje několik způsobů, jak ji spočítat, nejlépe se tu však hodí podílové pravidlo. Já proti němu sice občas namítám, že jde vlastně jen o obměněné součinové pravidlo, ale v podobných případech se docela hodí, když ho správně aplikujeme: Dostaneme derivaci čitatele podle x, derivace y podle x, krát jmenovatel, 3y na druhou minus x, minus čitatel, y, krát derivace jmenovatele podle x. Ale co vlastně znamená derivace jmenovatele podle x? Derivace 3y na druhou podle x bude derivace 3y na druhou podle y... Využiji pravidla pro umocňování, takže to bude 6y krát derivace y podle x. Rozložil jsem derivaci 3y na druhou podle x dle pravidla o složené funkci, na derivaci 3y na druhou podle y krát derivace y podle x. Od toho ještě odečtu derivaci tohoto x podle x, což je jednoduše 1. A pořád používáme podílové pravidlo, takže to celé lomeno jmenovatelem na druhou. To celé lomeno 3y na druhou minus x, to celé na druhou. Naštěstí máme řešit jeden konkrétní bod, takže nemusíme zlomek dál zjednodušovat. Takže to jdeme řešit pro případ, kdy x je rovno minus 1 a je y rovno 1. Zaprvé, kolik bude tahle derivace y podle x? Posunu stránku dolů, ať máme víc místa. Dostaneme 1 lomeno 3 krát 1 na druhou, tedy 3, minus −1, tedy plus 1, což je 1/4. Takže tato druhá derivace y podle x se rovná 1/4 krát 3y na druhou, což je 3, minus −1, tedy plus 1, minus 1 krát 6 krát 1 krát 1/4 minus 1, To celé lomeno 3 krát 1 na druhou, tedy 3, minus −1, tedy plus 1, to celé na druhou. Jen to spočítáme, 1/4 krát 4 je 1, pak 6/4 minus 1 je 1/2, a to celé lomeno 16. A připravte fanfáry, protože 1 minus 1/2 je 1/2, lomeno 16, což je 1/32. Hotovo!