Derivace inverzních funkcí: z tabulky

g a h jsou navzájem inverzní funkce. Připomeňme si, co to znamená, když jsou funkce navzájem inverzní. Znamená to, že když mám dvě množiny čísel... Jedna množina bude tady, druhá množina bude zde. První množina čísel bude definiční obor funkce g, takže tady budeme mít nějaké x. Funkce g tohle x zobrazí na jinou hodnotu, kterou nazýváme g(x). Tohle udělá funkce g. Pokud je h inverzní funkcí ke g a naopak, tak h zobrazí bod g(x) zpět na x. Funkce h to tedy zobrazí zpět na naši původní hodnotu. Tohle udělá funkce h. Na tento bod se tak můžeme dívat jako na x, ale také se na to můžeme dívat jako na hodnotu h v bodě g(x). Tohle všechno jsem udělal proto, aby nám to celé dávalo dobrý smysl. Pokud vám někdo řekne, že g a h jsou navzájem inverzní funkce, tak to znamená, že h v bodě g(x) se rovná x, ale také na to můžeme jít opačně. Mohli jsme tady začít s... Lze to udělat vícero způsoby. Tohle se také rovná g v bodě h(x). Mohl jsem tady prohodit písmena. Pořadí písmen h a g je v zásadě libovolné. Můžeme tedy také říct, že g v bodě h(x) se rovná x. Dále máme dány nějaké informace. V následující tabulce jsou uvedeny vybrané hodnoty funkcí g, h a g s čárkou. Naším úkolem je spočítat h s čárkou v bodě 3. V zadání h s čárkou v bodě 3 nemáme, takže jak to spočítáme? Máme dány hodnoty funkcí g s čárkou, h a g. Jak to tedy spočítáme? Nyní si něco odvodíme pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. Tento typ příkladu neuvidíte zrovna často, ale i tak je to zajímavé, takže si to spolu projdeme. Je možné, že se s tím potkáte i ve při probírání diferenciálního počtu. Začneme s libovolnou z těchto dvou rovností nahoře. Začněme tedy s rovností... Začněme s touhle rovností. Máme tedy, že g v bodě h(x) se rovná x. Tady musí být h(x). Tohle platí z definice, protože h a g jsou navzájem inverzní. Nyní zderivujme obě strany rovnice. Spočítejme derivaci podle x obou stran. Na levé straně použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce, což nám dá g s čárkou v bodě h(x) krát h s čárkou v bodě x. Jen jsme zderivovali složenou funkci. Tohle se bude rovnat... Čemu se rovná derivace podle x z x? ...se bude rovnat 1. Teď už je to docela zajímavé. Naším úkolem je spočítat, kolik je h s čárkou v bodě 3. Umíme zjistit, kolik je h(3) a následně i kolik je g s čárkou v bodě h(3), takže bychom měli být schopni určit i h(x) s čárkou. Nebo si to můžeme takto přepsat. Můžeme napsat, že h s čárkou v bodě x se rovná 1 lomeno g s čárkou v bodě h(x). Někteří po vás možná budou chtít, abyste se to naučili nazpaměť, a pro tohle cvičení Khan Academy by se znalost tohoto vzorce nazpaměť asi hodila. Řeknu vám však, že 20 let po mých hodinách diferenciálního počtu, už skoro 25 let, si tohle neuchovávám v dlouhodobé paměti. Zapamatoval jsem si ale, že to jde odvodit z definice inverzních funkcí. Tento vzorec teď můžeme využít k výpočtu h s čárkou v bodě 3. h s čárkou v bodě 3 se rovná 1 lomeno g s čárkou v bodě h(3), což hádám, že známe ze zadání. Takže h(3)... Když je x rovno 3, hodnota h je 4, takže tomu se rovná h(3). h(3) se rovná 4, takže teď potřebujeme zjistit g s čárkou v bodě 4. Naštěstí ze zadání víme, že když je x rovno 4, g s čárkou je 1 lomeno 2. g s čárkou v bodě 4 je tedy 1 lomeno 2, takže h s čárkou v bodě 3 je 1 lomeno (1 lomeno 2). 1 lomeno (1 lomeno 2)... 1 děleno (1 lomeno 2) je totéž jako 1 krát 2, takže to celé bude 2 a máme hotovo.