Derivace ln(x) pomocí derivace 𝑒ˣ a derivace implicitní funkce

Víme, že se derivace podle x z funkce e na x rovná e na x, což je podle mě jedna z nejhezčích věcí v matematice. Budí to u mě respekt vůči číslu e. Nejsme tady však kvůli tomu, abychom chválili číslo e, spíš bych se rád zamyslel nad tím, jaká je derivace inverzní funkce, tedy jaká je derivace podle x z přirozeného logaritmu z x. S tímto už jsme se několikrát setkali. Známe derivaci funkce a chceme zjistit derivaci funkce k ní inverzní. Co teď můžeme udělat? Můžeme položit y jako rovno přirozenému logaritmu z x, čímž jen jinak říkáme to, že y je exponent, na který musíme umocnit e, abychom získali x. Je to tedy ekvivalentní s tím, že e na y se rovná x. Nyní můžeme obě strany této rovnice zderivovat podle x. Tak pojďme na to. Obě strany zderivujeme podle x. Jde o implicitní derivování za použití vzorce pro derivaci složené funkce. Na levé straně bude derivace (e na y) podle y, což je zase e na y, krát derivace y podle x. Na pravé straně je derivace x podle x, což je 1. Abychom osamostatnili naši derivaci, tak obě strany vydělíme (e na y). Dostaneme, že derivace y podle x se rovná 1 lomeno (e na y). Čemu se rovná y? Víme, že y je rovno přirozenému logaritmu z x, tak to tam napišme. Toto se rovná 1 lomeno (e na přirozený logaritmus z x). Čemu se rovná e na přirozený logaritmus z x? Přirozený logaritmus z x je ten exponent, na který musím umocnit e, abych měl x, takže když e umocním na tento exponent, dostanu x. Tohle se tudíž rovná 1 lomeno x. Tenhle výraz se nám zjednodušil na x. A máme hotovo. Právě jsme zjistili, že když se y rovná přirozenému logaritmu z x, tak derivace y podle x je 1 lomeno x, neboli derivace přirozeného logaritmu z x podle x se rovná 1 lomeno x. Tohle se tedy rovná 1 lomeno x, což je také jeden z hezkých výsledků v matematice. Ne tak vzrušující jako tenhle, ale pořád poměrně pěkný.