Upravování funkcí před derivováním

Mám tady vypsáno několik pravidel derivování, která jsme použili v předchozích videích. Pokud vám tyhle věci nepřipadají povědomé, tak byste se na tohle video možná neměli dívat. V tomto videu se totiž podíváme na to, kdy tato pravidla použít, na různé strategie a na to, zda můžeme výrazy algebraicky upravit tak, aby šlo použít jednodušší pravidlo. Nejdřív si to rychle zopakujme, jako první je tu vzorec pro derivaci mocniny. Velmi užitečné pravidlo pro derivování x na nějakou mocninu. Také ho můžeme použít spolu se vzorci pro derivaci součtu nebo rozdílu k tomu, abychom zderivovali polynomy. Tohle je vzorec pro derivaci součinu. Máme-li výraz, jehož derivaci chceme spočítat a na který se můžeme dívat jako na součin dvou funkcí, tak jeho derivace se rovná derivaci první funkce krát druhá funkce, k čemuž přičteme první funkci vynásobenou derivací druhé funkce. Pokud vám tohle vůbec není povědomé nebo si tím nejste úplně jistí, podívejte se na videa a udělejte cvičení na vzorce pro derivaci mocniny a součinu nebo, jako v tomto případě, vzorec pro derivaci podílu. Vzorec pro derivaci podílu je trochu složitější. Máme na to ale videa s příklady. Mám vždy smíšené pocity, protože když zapomenete vzorec pro derivaci podílu, vždycky můžete daný podíl vyjádřit jako součin tak, že výraz dole napíšete jako f(x)... Tak, že tohle napíšete jako f(x) krát g(x) na minus prvou. Derivaci pak spočítáte pomocí složení pravidla pro derivaci součinu a tohoto čtvrtého pravidla pro derivaci složené funkce. Pokud vám něco z tohohle vůbec není povědomé, nedívejte se na tohle video. Tohle video je pro ty, kteří znají každé z těchto pravidel či technik derivování, a nyní chtějí vědět, jaké jsou strategie pro to, kdy které pravidlo použít. Tak pojďme na to. Řekněme, že máme výraz... Řekněme, že chceme zderivovat výraz: x na druhou plus x minus 2, to celé lomeno (x minus 1). Které z těchto pravidel nebo technik byste použili? Možná byste si hned řekli: „Tohle vypadá jako racionální výraz.“ „Tohle bych si mohl označit jako f(x).“ „Tohle by mohlo být g(x) a mohl bych použít vzorec pro derivaci podílu.“ „Vypadá to jako podíl dvou výrazů.“ To byste mohli udělat, a pokud byste všechny výpočty udělali správně, dostali byste správný výsledek. V tomhle případě je ale dobré zamyslet se chvilku nad tím, jak to lze algebraicky upravit tak, abyste si ušetřili trochu práce. Když se nad tím takto zamyslíte, možná vás napadne rozložit čitatel na součin. Můžeme ho rozložit jako (x plus 2) krát (x minus 1), načež můžeme tohle pokrátit, takže to bude totéž jako derivace podle x z (x plus 2). Derivace podle x z (x plus 2), což je mnohem přímočařejší, než derivovat pomocí pravidla o podílu. Zde jen zderivujeme x podle x, což je 1, a derivace podle x ze 2 je 0, takže se to celé zjednoduší na 1. Ke zderivování tohohle jsme v zásadě použili vzorec pro derivaci mocniny. Díky jednoduché algebraické úpravě se tedy věci dají výrazně zjednodušit. Udělejme si další příklad. Řekněme, že vám někdo zadal, abyste spočítali derivaci podle x z výrazu: x na druhou plus 2 krát x minus 5, to celé lomeno x. Opět by vás to mohlo svádět k použití pravidla pro derivaci podílu. Vypadá to jako podíl dvou výrazů. Pak si ale možná uvědomíte, že jistými algebraickými úpravami to lze zjednodušit. Mohli byste to napsat jako součin. Mohli byste říct, že je to totéž jako... Teď mě bude zajímat jen to, co je uvnitř závorek. Je to totéž jako (x na minus prvou) krát (x na druhou plus 2 krát x minus 5). Na to byste nejspíš použili vzorec pro derivaci součinu, ale jde to ještě lépe zjednodušit. Každý z těchto členů můžeme vydělit x, nebo se na to můžeme dívat také tak, že výrazem (1 lomeno x) každý člen vynásobíme. x na minus prvou je totiž to samé co 1 lomeno x. Když to uděláme, tak (x na druhou) děleno x je x, (2 krát x) děleno x se rovná 2 a −5 děleno x... To můžeme napsat jako −5 lomeno x nebo −5 krát (x na minus prvou). Zderivovat tohle podle x je mnohem jednodušší, než použít pravidlo pro derivaci podílu nebo mocniny. Bude to... Derivace tohohle je 1. Derivace 2 je 0 a zde, i když máme zápornou mocninu a může to vypadat trochu strašidelně, stačí použít vzorec pro derivaci mocniny. −1 krát −5 je +5, tohle krát x na.... Hledáme číslo o 1 menší než −1, takže to bude x na minus druhou. Použití této algebraické úpravy tedy věci opět výrazně zjednodušilo. Udělejme si ještě několik dalších příkladů, abychom začali lépe rozpoznávat, kdy si můžeme věci zjednodušit, kdy si to můžeme udělat lehčí. Řekněme, že vám někdo řekl: „Hej, ty! Spočítej derivaci podle x...“ Používám x jako proměnnou, podle které derivujeme, ale samozřejmě by to fungovalo pro libovolnou proměnnou, kterou použijeme. „...z výrazu odmocnina z x, to celé lomeno x na druhou.“ Zastavte si video a zamyslete se, jak byste na to šli, kdybyste podle x měli zderivovat odmocninu z x vydělenou x na druhou. Opět byste si mohli říct, že jde o podíl dvou výrazů, takže použijete vzorec pro derivaci podílu, nebo si uvědomíte, že tohle je totéž co... Teď mě bude zajímat jen to, co je v závorkách. Na tohle se můžete dívat jako na (x na minus druhou) krát odmocnina z x, což můžete derivovat jako součin, ale tohle lze ještě víc zjednodušit. Můžete říct, že se to rovná (x na minus druhou) krát x na jednu polovinu. Když nyní použijeme vlastnosti exponentů, tak −2 plus (1 lomeno 2) je minus (3 lomeno 2). Jde tak o derivaci x na minus (3 lomeno 2). Opět jsme tedy měli něco, o čem jsme si mysleli, že budeme muset použít vzorec pro derivaci podílu nebo součinu, ale teď už to lze přímočaře spočítat díky vzorci pro derivaci mocniny. Toto se tedy rovná... Minus (3 lomeno 2) napíšeme dopředu. ...minus (3 lomeno 2) krát x na... Minus (3 lomeno 2) minus 1 se rovná minus (5 lomeno 2). Ještě jednou, obzvláště předtím, než použijete vzorec pro derivaci podílu a občas i vzorec pro derivaci součinu, podívejte se, zda to nelze nějak algebraicky zjednodušit, nebo občas zda není nějaká goniometrická úprava, kterou můžete udělat, abyste si ulehčili práci, která věci učiní méně obtížnými. Takovou obecnou radou, o které sice nemohu říct, že bude fungovat vždy, ale když děláte nějakou zkoušku a provádíte nějaký obtížný výpočet, k nimž vzorec pro derivaci podílu často vede, je dobré se na chvilku zastavit předtím, než se pustíte do algebraických výpočtů, které jsou třeba při použití vzorce pro derivaci podílu, a podívat se, zda nelze věci nějak zjednodušit. Pojďme na další příklad. V tomto příkladu nebude žádná zřejmá cesta ke zjednodušení, ale záleží to na tom, co každý upřednostňuje. Řekněme, že chceme spočítat derivaci podle x z výrazu: 1 lomeno (2 krát x na minus pátou)... Pardon, myslel jsem 1 lomeno (2 krát x minus 5). Zde byste mohli ihned použít vzorec pro derivaci podílu. Na tento čitatel se můžete dívat jako na f(x). Také byste se na tohle mohli dívat jako na derivaci podle x... Namísto 2 krát x minus 5... Napíšu to modrou barvou. (2 krát x minus 5) na minus prvou. V této situaci musíte použít vzorec pro derivaci mocniny a také složené funkce. Řekli byste si, že g(x) se rovná 2 krát x minus 5 a že f v bodě g(x) je celý tento výraz. Když použijeme vzorec pro derivaci složené funkce, tak to bude derivace vnější funkce, tedy f(x), podle vnitřní funkce, neboli derivace (f v bodě g(x)) podle g(x), což se rovná minus... Tohle minus napíšeme dopředu, v zásadě používáme vzorec pro derivaci mocniny. ...minus (2 krát x minus 5) na minus druhou, což musíme vynásobit derivací vnitřní funkce. Jak vypadá derivace vnitřní funkce? Derivace (2 krát x) je 2, derivace −5 je 0, takže zde bude krát 2. Toto lze samozřejmě zjednodušit na −2 krát celý tento výraz. Udělám ještě jeden příklad, abyste si to ještě lépe pamatovali. Ještě jednou opakuji, že není jen jeden způsob, jak to udělat, ale měli byste vědět, že jsou různé způsoby, jak k těmto derivacím přistoupit. Řekněme, že nám někdo dal za úkol spočítat derivaci z (2 krát x plus 1) na druhou. Zastavte si video a zamyslete se, jak byste na to šli. Můžeme to jako před chvílí udělat pomocí vzorce pro derivaci složené funkce. Mohli byste říct, že to bude derivace vnější funkce podle té vnitřní, takže 2 krát (2 krát x plus 1) na prvou, o jedna méně než tady, krát derivace vnitřní funkce, což je 2. Tohle se tedy rovná 4 krát (2 krát x plus 1), což se rovná... Můžeme roznásobit číslem 4 a vyjde, že to je 8 krát x plus 4. Toto je zcela správný způsob, jak to udělat. Šlo by to ale udělat i jinak. Mohli bychom roznásobit (2 krát x plus 1) na druhou. Potom by se to rovnalo derivaci podle x z... (2 krát x) na druhou je 4 krát x na druhou, 2 krát součin těchto členů bude +4 krát x, a ještě plus 1. Nyní můžeme použít vzorec pro derivaci mocniny. Tedy nejprve trochu víc algebraické práce, ale pak hned derivace mocniny, pomocí čehož vám vyjde úplně to samé. Hlavní věcí, kterou byste si měli odnést, je zamyslet se. Podívejte se na výrazy a zda jdou zjednodušit, obzvláště když se tím vyhnete vzorci pro derivaci podílu, protože ten je občas těžké si vybavit, a i když si ho vybavíte, výpočet se velmi rychle může stát velmi ošemetným.