Řešený příklad: Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou

V následující tabulce jsou hodnoty funkcí f a g a jejich derivací f s čárkou a g s čárkou v bodech x rovno −2 a x rovno 4. Vidíme tedy, že pro x rovno −2 a 4 tu máme hodnoty f, g, f s čárkou a g s čárkou. Funkce F je definována jako složení funkcí f a g, je to f v bodě g(x). Naším úkolem je spočítat F s čárkou v bodě 4. Možná jste hned uhodli, že když máme funkci, na kterou se lze dívat jako na složení jiných funkcí, tak můžeme použít pravidlo pro derivaci složené funkce. Jen opíšu vzorec pro derivaci složené funkce. Derivace F se rovná derivaci f, tedy vnější funkce, podle vnitřní funkce, což je f s čárkou v bodě g(x), krát derivace vnitřní funkce podle x, tedy krát g s čárkou v bodě x. Nás zajímá F s čárkou v bodě 4, takže místo x musíme všude napsat 4. Bude to f s čárkou v bodě g(4) krát g s čárkou v bodě 4. Jak to spočítáme? V zadání nemáme explicitní vzorec pro funkční hodnoty v libovolném bodě x, ale máme dány hodnoty ve dvou zajímavých bodech. Nejprve zjistíme, čemu se rovná g(4). V tabulce máme, že když je x rovno 4, g(4) se rovná −2. Tabulka nám říká, že hodnota g(x) pro x rovno 4 je −2. Tohle je tedy −2. Tato první část je tak f s čárkou v bodě −2, takže kolik je f s čárkou v bodě −2? Když je x rovno −2, f s čárkou je 1. Tady je hodnota f s čárkou v bodě −2. Je to rovno 1. Nyní zbývá zjistit, čemu se rovná g s čárkou v bodě 4. Když... Zakroužkuju to. g s čárkou v bodě 4. Když je x rovno 4... Trochu to posunu dolů. Když je x rovno 4, hodnota g s čárkou je 8. A máme to. f s čárkou v bodě 4 se rovná 1 a násobíme to 8, což se rovná 8. A máme hotovo.