Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 2)

V minulém videu jsme skončili tím, že jsme celkový obsah vyjádřili jako funkci proměnné x, tedy toho, kde uděláme řez. A teď potřebujeme zjistit, kde tato funkce nabývá minimální hodnoty. Abychom to zjistili, musíme udělat derivaci celého tohohle výrazu, poté zjistit, kde je derivace nedefinovaná nebo rovna 0, pak se ujistit, že se skutečně jedná o minimální hodnotu, a budeme mít hotovo. Nyní si to přepíšu. Celkový obsah jako funkce proměnné x… Jen to upravím, aby se nám to lépe derivovalo. Toto je (odmocnina ze 3) krát x na druhou, to celé lomeno… Tohle je 4 krát 9, protože toto je x na druhou lomeno 9. 4 krát 9 je 36. Výraz nahoře napsaný modře bude plus (100 minus x) na druhou lomeno 16. Teď to zderivujeme. ‚A‘ s čárkou, tedy derivace celkového obsahu jako funkce x, bude rovna… Derivace tohoto podle x je (odmocnina ze 3 krát x) lomeno 18. Derivace tohohle podle x bude… Je to derivace (něčeho na druhou) lomeno 16 podle toho něčeho, takže to bude to něco na prvou krát (2 lomeno 16), tedy lomeno 8, a pak podle derivace složené funkce krát derivace toho něčeho podle x. Derivace (100 minus x) podle x je rovna −1, takže krát −1. Toto vynásobíme −1. Tohle celé tedy můžeme přepsat jako (odmocnina ze 3 vydělená 18) krát x plus… Tohle můžu napsat jako x lomeno 8, takže sem můžu napsat (1 lomeno 8) krát x, protože −1 krát −x je x a ještě lomeno 8, a pak −100 lomeno 8, což je −12,5. A my chceme znát x, pro které je tento obsah nejmenší. Tato derivace je definovaná pro libovolné x, takže nemáme žádné stacionární body, ve kterých derivace není definovaná, ale můžeme najít stacionární body, ve kterých je derivace rovna 0. Musíme zjistit, pro která x bude hodnota derivace nulová, neboli kdy má naše původní funkce sklon rovný 0. Pak už jen potřebujeme ověřit, že se skutečně jedná o minimum, pokud nalezneme x, pro které je derivace rovna 0. Vyřešme tuto rovnici pro x. Když k oběma stranám přičteme 12,5, dostaneme, že 12,5 se rovná... Když sečteme členy s x, dostaneme (odmocninu ze 3 dělenou 18) plus (1 lomeno 8) a celý výraz krát x. Abychom osamostatnili x, obě strany vydělíme tímto výrazem. Dostaneme, že x je rovno 12,5 děleno výrazem (odmocnina ze 3 dělená 18) plus (1 lomeno 8). A máme hotovo. Pro toto x je derivace rovna 0. Ještě jsem neměl říkat, že máme hotovo. Nevíme, jestli je tohle bod minima. Abychom zjistili, zda jde o bod minima, musíme zjistit, jestli je pro toto x naše funkce konvexní nebo konkávní. Abychom na to přišli, použijeme druhou derivaci. Takže druhá derivace... Napíšu si tedy druhou derivaci celého tohoto výrazu. Tohle je stejná funkce jako tahle. Takže to přepíšu. ‚A‘ s čárkou, tedy derivace celkového obsahu, se rovná (odmocnina ze 3 dělená 18) krát x plus (1 lomeno 8) krát x minus 12,5. Druhá derivace je (odmocnina ze 3 dělená 18) plus (1 lomeno 8). Tento výraz je větší než 0, což znamená, že funkce je konvexní pro všechna x. Konvexní pro všechna x. Máme tedy nějakou takovou situaci. Když tedy nalezneme x, ve kterém je sklon rovný 0, tak to bude na intervalu, kde je funkce konvexní, protože to platí pro všechna x, tudíž půjde skutečně bod minima. Sklon je zde rovný 0. Zde bude bod minima. Tohle je tedy bod, ve kterém nastává minimum. Pokud bychom skutečně měli 100 metrů dlouhý drát, tak tento výraz není tak užitečný. Chtěli bychom dostat nějaké desetinné číslo, abychom věděli, kde řez udělat. Tak na to teď použijeme kalkulačku. Máme 12,5 děleno výrazem (odmocnina ze 3 dělená 18 plus 1 lomeno 8), což nám vyjde jako 56,5. Toto je tedy zhruba 56,5 metrů. Náš řez tak musíme udělat zhruba 56,5 metrů od levého konce drátu, pak bude celkový obsah těchto dvou obrazců nejmenší možný.