Určení intervalu, na kterém funkce roste, z derivace funkce

Funkce ‚g‘ je definovaná pro všechna reálná čísla a ‚g‘ s čárkou, tedy derivace funkce ‚g‘, je definovaná předpisem g(x) s čárkou se rovná: (x na druhou) lomeno třetí mocnina z (x minus 2). Na kterých intervalech je ‚g‘ rostoucí? Možná si říkáte: „Vždyť v zadání ani není ‚g‘, tak jak máme zjistit, kdy je ‚g‘ rostoucí?“ Odpovědí na tuhle otázku je, že potřebujeme znát jen ‚g‘ s čárkou, která v zadání je. Když se nás ptají, na kterých intervalech je ‚g‘ rostoucí, tak to je totéž jako ptát se, na kterých intervalech je první derivace podle x... Na kterých intervalech bude tohle větší než 0. Pokud je rychlost změny g(x) vzhledem k x větší než 0, tedy pokud je kladná, tak bude funkce ‚g‘ rostoucí. Můžete na to jít několika způsoby. Můžete si prohlédnout strukturu tohoto výrazu a zamyslet se, kdy je větší než 0, nebo to můžete udělat trochu víc metodicky, a to podívat se na stacionární body funkce ‚g‘. Budou nás tedy zajímat stacionární body funkce ‚g‘. Připomeňme si, co jsou stacionární body. Jsou to body, ve kterých je g(x) s čárkou buď rovna 0, nebo není definovaná. O stacionárních bodech máme samostatné video. Pro nás jsou teď důležité proto, že jde o jediná možná místa, ve kterých může ‚g‘ s čárkou změnit znaménko. Kdy je g(x) s čárkou rovno 0? Aby bylo g(x) s čárkou rovno 0, tak musí být tento čitatel roven 0, což se stane jen tehdy, když bude x na druhou rovno 0, tedy když bude x rovno 0. Toto je tedy jediný bod, ve kterém je g(x) s čárkou rovno 0. Kde není g(x) s čárkou definováno? Nebude to definováno, když tento zlomek nebude definovaný, přičemž zlomek nebude definovaný, když se jmenovatel bude rovnat 0, což nastane tehdy, když bude (x minus 2) rovno 0. x minus 2 se rovná 0 neboli x se rovná 2. Máme tedy dva stacionární body a rád bych je nějak nakreslil. Nakreslím je na číselnou osu. Zamysleme se, jak se g(x) s čárkou chová na intervalech mezi stacionárními body. Nejprve si tady vyznačím 0, potom 1, 2, 3 a ještě si vyznačím -1. Máme stacionární bod... Udělám to růžovou. ...máme stacionární bod x rovná se 0 a stacionární bod x rovná se 2. Zamysleme se tedy, jak se g(x) s čárkou chová na intervalech mezi těmito stacionárními body, tedy co dělá na obou stranách stacionárních bodů. Nejprve se podívejme na tento interval... Udělám to touhle fialovou. Podívejme se na interval od minus nekonečna do nuly. Zajímá nás tedy tento interval, od minus nekonečna do nuly. Tento otevřený interval. Když se podíváme na ‚g‘ s čárkou, tak čitatel bude pořád kladný. Druhá mocnina libovolného záporného čísla je vždy kladná, takže tohle bude kladné. A co jmenovatel? Dosadíme záporné číslo, odečteme od něho 2, čímž dostaneme opět záporné číslo, které následně umocníme na třetí. Záporné číslo na třetí je opět záporné číslo, takže tohle bude záporné. Máme kladné číslo dělené záporným číslem, a tak bude g(x) s čárkou záporné. Zapíšu to. Na tomto intervalu... Napíšu to takto. ...je g(x) s čárkou menší než 0. Kdyby nás zajímalo, na kterých intervalech je g klesající, tak bychom řekli, že na tomto intervalu určitě klesá. Nyní se zaměřme na interval mezi 0 a 2. To je tento interval. Toto je tedy otevřený interval od 0 do 2. Jak se bude g(x) s čárkou chovat v tomto případě? x na druhou bude opět... Pro cokoliv většího než 0, přičemž my 0 do tohoto intervalu nezahrnujeme, bude tohle určitě kladné. Pak tu máme x minus 2, kde x je větší než 0 a menší než 2... Takže když je x... Kdyby x bylo například 1, tak 1 minus 2 je −1. Tady ve jmenovateli tak opět dostaneme záporná čísla. Protože tady ve jmenovateli stále budou záporná čísla, tak celý jmenovatel bude... Záporné číslo na třetí je opět záporné číslo, takže tohle bude záporné. ‚g‘ s čárkou tak stále bude menší než 0. Napíšu to tam. g(x) s čárkou je opět menší než 0. Teď pojďme na poslední interval, tedy na interval od 2 do nekonečna. Čitatel bude kladný. Bude kladný pro všechna x různá od nuly. Když do jmenovatele dosadíme číslo větší než 2 a pak od toho odečteme 2, tak to bude stále kladné číslo. To následně mocníme na třetí, což bude opět kladné číslo. Celý zlomek tedy bude kladný. Na tomto intervalu je tudíž g(x) s čárkou větší než 0. Na kterých intervalech je tedy ‚g‘ rostoucí? Na intervalech, kde je g(x) s čárkou větší než 0, takže na intervalu od 2 do nekonečna, což můžeme také napsat tak, že x musí být větší než 2. Ať už to napíšeme jakkoliv, tak pro tato x je g(x) s čárkou větší než 0, takže funkce ‚g‘ bude rostoucí.