Řešený příklad: Násobení jednotkových vektorů

Máme tady vektor u, jehož složky jsou 1/3 a odmocnina z 8 děleno 3. A vektor u je vektor jednotkový. Můžeme si to ověřit tak, že si spočítáme jeho velikost, která by tedy měla být jedna u jednotkového vektoru. Velikost vektoru, ten výpočet vychází z Pythagorovy věty. Je to tedy odmocnina součtu druhých mocnin těch složek. Takže to tedy bude odmocnina z jedné třetiny na druhou plus odmocnina z osmi děleno třemi, to také na druhou. Takže to bude odmocnina z jedné devítiny plus, to je osm devítin, a vy už to asi vidíte, to je odmocnina z devíti devítin, což je odmocnina z jedné a tedy opravdu jedna. Jedná se tedy opravdu o jednotkový vektor. A co kdybychom chtěli vektor, dejme tomu vektor v, který bude mít stejný směr jako tento jednotkový vektor, ale bude mít jinou velikost, třeba velikost 11. Takže velikost vektoru v bychom chtěli, aby byla 11. Jak bychom to tedy udělali? Možná už vás něco napadlo, jednoduše vynásobíme vektor u skalárem, což tedy se dělá tak, že vynásobíme každou složku toho vektoru tím určitým skalárem. A jelikož tedy chceme velikost, aby byla 11, tak tu jedničku musíme vynásobit jedenáctkou. Pak ten vektor bude mít stejný směr ale jinou velikost. Takže vektor v bude vypadat takto, vektor v bude tedy 11 krát, a teď ten původní vektor, vektor u, tedy jedna třetina a odmocnina z osmi děleno třemi, takže to tedy bude 11 třetin a 11 krát odmocnina z osmi děleno třemi. Tak, to je ten náš požadovaný vektor. Vynásobili jsme jednotkový vektor u skalárem, takže jsme vynásobili každou jednotlivou složku. Jeho velikost je tedy jiná. Když násobíme skalárem, tak vlastně prodlužujeme nebo zkracujeme tu orientovanou úsečku, kterou bychom ten vektor znázornili. Prodlužujeme ji nebo ji zkracujeme. Ale ta orientovaná úsečka má stále stejný směr, takže směr tady zůstal zachován, jenom velikost se změnila. A pokud byste chtěli, můžete si určitě tu velikost ověřit tím, že si ji spočítáte zase tímto způsobem a dostanete 11. A můžete mi věřit, opravdu byste dostali číslo 11.