Tvary rovnice přímky

Podívejme se na různé tvary rovnice přímky. Prvním, už nám dobře známým tvarem je směrnicový tvar. Ten vypadá jako y=kx+q, kde k je směrnice a bod [0, q] je průsečík s osou y. Abychom si připomněli, jak čísla k a q spočítat, určíme směrnicový tvar rovnice přímky, kterou zde máme zakreslenou. Začněme například se směrnicí. Z předchozích kapitol víme, že směrnici přímky spočítáme tak, že na ní vybereme nějaké 2 body a podíváme se, jak se změní hodnota x a y, když z jednoho bodu přejdeme do druhého. Směrnice je potom definovaná tak, že změnu y vydělíme změnou x. Tak pojďme na to. Nejprve musíme najít nějaké 2 body, které leží na naší přímce. Jedním takovým bodem je bod [4, -3] a druhým je například bod [-2, 6]. Teď musíme spočítat změnu x a změnu y. Řekněme, že jdeme z horního bodu do toho dolního. Změna x je potom rovna koncové souřadnici koncového bodu minus x-ová souřadnice počátečního bodu. V našem případě je tedy změna x rovna 4 - (-2). Protože koncový bod 4, -3 má x-ovou souřadnici 4 a počáteční bod -2, 6 má x-ovou souřadnici -2. No a 4 - (-2) to je 6. Změnu y spočítáme zcela stejně. Od y-ové souřadnice koncového bodu, což je v našem případě -3 musíme odečíst y-ovou souřadnici počátečního bodu, což je v našem případě 6, takže -6. No a -3 -6 to je -9. Teď už jen za změnu y a změnu x dosadíme námi spočítané hodnoty a zjistíme, že směrnice se rovná -9/6. Což se ještě dá lehce zjednodušit, když čitetele i jmenovatele vydělíme třemi a dostaneme, že směrnice je -3/2 Zbývá nám určit průsečík s osou y, což je bod, ve kterém naše přímka protíná osu y. A když se podíváme na náš graf, tak vidíme, že jde o tento bod a to je bod se souřadnicemi [0, 3]. A tedy q=3. Teď už zbývá jen dosadit za k a za q do směrnicového tvaru, který jsme si napsali nahoře a dostaneme, že směrnicový tvar rovnice zakreslené přímky je -3/2x + 3 Je dobré zmínit, že ne úplně každou přímku lze zapsat pomocí rovnice ve směrnicovém tvaru. Konkrétně problém budou dělat svislé přímky. Abychom viděli, proč jsou svislé přímky problémem, tak si nějakou nakresleme. Třeba přímku následující. Vidíme, že na této přímce leží například body [-8, -4] a [-8, 4]. Zkusme spočítat, čemu se rovná směrnice. Víme, že směrnice je změna y lomeno změna x. A řekněme, že jdeme opět z horního bodu do toho dolního. Potom se změna y rovná y-ová souřadnice koncového bodu, což je -4 a minus y-ová souřadnice počátečního bodu, což je 4. -4 -4 lomeno a teď je změna x, to bude zase x-ová souřadnice koncového bodu, což je -8 a minus x-ová souřadnice počátečního bodu, minus a počáteční bod má x-ovou souřadnici také -8. No a když tento zlomek zjednodušíme, tak zjistíme, že v čitateli -4-4 je -8 a -8-(-8), toje -8+8, to je bohužel 0 a jak asi všichni víme, tak nulou dělit nelze a tedy tato přímka nemá definovanou směrnici a tudíž nemůže mít ani směrnicový tvar. Všechny ostatní přímky, které nejsou svislé, však směrnicový tvar mají. Druhým tvarem, o kterém si něco povíme, je takzvaný tvar úsekový. Ten vypadá jako x/p + y/q = 1, kde bod [p, 0] je průsečík přímky s osou x a bod [0, q] je průsečík s osou y. Určit úsekový tvar přímky tedy není až tak hrozné. Stačí pouze správně vypočítat průsečíky se souřadnicovými osami. Abychom si to procvičili, tak určíme úsekový tvar přímky, kterou zde máme zakreslenou. Když se podíváme na její graf, tak vidíme, že osu x protíná v bodě [2, 0] a osu y protíná v bodě [0, 3]. Z toho plyne, že p bude 2 a q bude 3. Zadaný úsekový tvar bude x/2 + y/3 = 1 Podobně jako u směrnicového tvaru však platí, že ne každou přímku lze zapsat rovnicí v úsekovém tvaru. Jedním z problematických typů přímek jsou přímky, které procházejí počátkem. Tak si nějakou nakresleme. Vidíme, že tato přímka protíná jak osu x, tak osu y v bodě [0, 0]. A tedy bod [0, 0] je průsečíkem jak s osou x, tak s osou y. Z toho ale plyne, že p i q se rovná nula. A tedy příslušný úsekový tvar by měl být x/0 + y/0 = 1, což ale samozřejmě není možné, protože nesmíme dělit nulou. Problém dělají i vodorovné a svislé přímky. Tak si od každého typu jednu nakresleme, abychom viděli, proč tomu tak je. Vidíme, že naše oranžová vodorovná přímka sice protíná osu y, ale nikde neprotíná osu x. A tudíž nemá smysl bavit se o jejím úsekovém tvaru. Jedinou možností, jak by mohla vodorovná přímka protnout osu x je, že by to byla sama osa x. Jenže to je přímka, která prochází počátkem a pro ni už víme, že úsekový tvar také nedává smysl. Podobně naše svislá zelená přímka sice protíná osu x, ale nikde neprotíná osu y. A tudíž opět nemá smysl bavit se o jejím úsekovém tvaru. Jedinou možností, jak by mohla protínat osu y je, že by to byla sama osa y. Ale to je opět přímka, která prochází počátkem a o těch víme, že úsekový tvar nemají. Úsekový tvar je tedy definovaný pro přímky, které nejsou ani svislé, ani vodorovné a neprocházejí počátkem. Třetím možným způsobem popisu přímky je její parametrické vyjádření. Abychom mohli pochopit, co parametrické vyjádření říká, musíme si nejprve něco povědět o takzvaném směrovém vektoru přímky. Nakreslíme si tedy nějakou přímku a zvolíme na ní 2 body, které pojmenujeme třeba B a C. Zvolíme-li bod B jako počáteční a bod C jako koncový, tak dostaneme vektor BC Vektor BC pak nazveme směrovým vektorem naší přímky. Tento vektor však není jediný, všimněme si, že bychom mohli zvolit i jiné body. Např. DE a dostali bychom jiný směrový vektor. Směrový vektor je tedy úplně každý vektor, který začíná na naší přímce a také na ní končí. Možná si teď říkáte, proč se tedy bavit o směrovém vektoru, když jich může být více než 1 a dokonce mohou vypadat jinak. Je sice pravda, že směrové vektory mohou být různé, ale nemohou být různé zas až tak moc. Platí totiž, že pokud u a v jsou 2 směrové vektory téže přímky, tak existuje reálné číslo C takové, že vektor u je násobkem vektoru v. Vzpomeňme si, že násobení vektoru skalárem může vektor jenom prodloužit nebo zkrátit. Ale nemůže změnit směr vektoru krom toho, že ho jen otočí na druhou stranu. Máme-li tedy 2 různé směrové vektory příslušné téže přímce pak ten první je nutně zkrácený nebo naopak prodloužený druhý a případně ještě může mířít přesně opačným směrem. To je i situace na našem obrázku. Vektor DE jsme schopni z vektoru BC udělat tak, že vektor BC nejprve trochu zkrátíme a potom ho otočíme, aby mířil opačným směrem. Teď si představme, že máme přímku, o které víme, že na ní leží bod A a že její směřový vektor je u. Všimněme si, že když budeme u natahovat nebo zkracovat, tak nakonec dostaneme všechny body na naší přímce, které leží napravo od bodu A. A obdobně, když vektor u otočíme a pak ho budeme zkracovat nebo prodlužovat, tak dostaneme všechny body na naší přímce, které leží nalevo od bodu A. Každý bod [x, y], který leží na naší přímce, lze tedy získat tak, že nejprve začneme v bodě A a potom přidáme nějaký skalární násobek směrového vektoru. Ještě jednou totiž připomínám, že skalární násobek vektoru znamená, že ho buďto zkrátíme, nebo prodloužíme a případně ještě obrátíme opačným směrem. Pokud má bod A souřadnice a1, a2 a vektor u složky u1, u2, Tak pro každý bod (x, y) ležící na naší přímce platí, že souřadnice (x,y) = (a1, a2) + c(u1, u2). Díky tomu, co víme o sčítání vektorů a násobení vektorů skalárem, lze toto ještě zapsat tak, že vektor (x, y) se rovná vektoru, jehož první složka je a1 + cu1 a jehož druhá složka je a2 + cu2. No a protože vektory se rovnají právě tehdy, když se rovnají jejich jednotlivé složky, tak dostaneme, že x =a1+cu1, a že y =a2+cu2. Přičemž c může být libovolné reálné číslo. Tyto dvě rovnice se dohromady nazývají parametrické vyjádření přímky. Nyní zkusme určit parametrické vyjádření přímky, kterou zde máme zakreslenou. Za tím účelem musíme na přímce nejprve vybrat nějaký bod A. Vybereme třeba bod [4, -3]. Dále budeme potřebovat najít nějaký směrový vektor přímky. K tomu potřebujeme ještě bod B. Zvolme třeba bod [-2, 6]. Teď potřebujeme určit složky směrového vektoru AB. Z předchozích videí víme, že složky vektoru AB jsou rovny změně x-ové a změně y-ové souřadnice, když přejdeme z bodu A do bodu B, kdy první složka směrového vektoru je -2-4 a jeho druhá složka je 6-(-3). Což se nám zjednoduší na (-6, 9). Toto je tedy náš vektor u z parametrického vyjádření. Dále víme, že bod A má souřadnice [4, -3]. Nyní už jen zbývá dosadit do parametrického vyjádření. Když tak učiníme, zjistíme, že x se rovná první souřadnice bodu A, což je 4 plus c krát první složka vektoru u. tedy plus c krát -6. Dále y se rovná druhá souřadnice bodu A, tedy -3 plus c krát druhá složka vektoru u. Tedy plus c krát 9 Toto lze trochu hezčeji přepsat tak, že x = 4 - 6c a y = -3 + 9c. Poslední věcí, na kterou se v tomto videu podíváme je tzv. obecná rovnice přímky, která má tvar ax + by + c = 0 Pojďme se nejprve podívat na to, jak spočítat čísla a a b. Předpokládejme, že známe směrový vektor u, který má složky u1 a u2. Z vektoru u nyní uděláme nový vektor tak, že prohodíme pořadí jeho složek a navíc u jedné z nich změníme znaménko. Řekněme, že změníme znaménko u u2. Dostaneme tedy vektor -u2, u1. Takto vyrobený vektor se nazývá normálový vektor. A aniž bychom si teď přesně říkali, co to znamená, tak vám mohu prozradit, že normálový vektor je kolmý na původní směrový vektor. O úhlech mezi vektory se ale budeme bavit později. Platí, že první složka tohoto nového vektoru se rovná číslu a a druhá složka je rovna číslu b. Když už víme, čemu se rovnají čísla a a b, tak stačí dosadit za x a y souřadnice nějakého známého bodu ležícího na naší přímce a dostaneme rovnici pro c, kterou už snadno vyřešíme. Na přímce, kterou zde máme zakreslenou, si ukážeme, jak na to. Z předchozí části o parametrickém vyjádření víme, že jedním ze směrových vektorů této přímky je vektor -6, 9. Teď musíme nejprve zaměnit pořadí jeho složek, čímž dostaneme vektor 9, -6. A následně ještě změníme znaménko u první složky, čímž dostaneme vektor -9, -6. Z toho plyne, že a = -9, b = -6 a daná obecná rovnice má tvar -9x -6y + c = 0 Nyní potřebujeme vybrat nějaký bod, který leží na naší přímce. Při pohledu na graf vidíme, že na naší přímce leží například bod [4, -3]. Souřadnice tohoto bodu nyní dosadíme do naší obecné rovnice. Dostaneme, že -9 krát 4 -6 krát minus 3 plus c rovná se 0. To se nám následně zjednoduší na -36 + 18 + c = 0 -36 plus 18 je -18. A tedy dostaneme, že -18 + c = 0, z čehož plyne, že c = 18. Hledaná obecná rovnice je tedy -9x-6y+18=0 Je dobré zmínit, že obecná rovnice přímky není určena úplně jednoznačně. Všimněme si totiž, že danou rovnici můžeme vynásobit či vydělit libovolným nenulovým číslem a jde o ekvivalentní úpravu. Tudíž dostaneme novou rovnici, která má ale stále tutéž množinu řešení a tudíž určuje stejnou přímku. Námi nalezenou rovnici můžeme například vydělit minus třemi, čímž dostaneme rovnici 3x+2y-6=0 a jde také o správnou odpověď