Úlohy na násobení vektorů skalárem

Máme tady cvičení na vektory. Vektor v je zadaný těmito dvěma složkami x a y. Nedávají nám přesná čísla, pouze říkají, že to bude složka x a složka y. A také nám říkají, že velikost toho vektoru v je 5. A máme do prázdných polí doplnit čísla tak, aby vznikla pravdivá tvrzení. A tady u obou případů se nás ptají na velikosti různých vektorů. Máme tady vektor w, který je zadaný jako 3x a 3y. A ptají se nás na jeho velikost. Když se na to podíváme, tak vlastně tady bylo x, tady je 3x. Tady bylo y a tady je 3y. Takže obě dvě ty složky jsou vynásobené číslem 3. Takže to vypadá, že jsme prostě vzali vektor v a vynásobili jsme ho číslem, neboli skalárem 3. A co se stane, když vektor vynásobíme nějakým skalárem? Jeho velikost taktéž tím samým skalárem vynásobíme. Když w je vlastně 3 krát vektor v, tak jeho velikost bude třikrát větší než velikost vektoru v. Takže třikrát 5 je 15. Obdobně budeme postupovat tady. Vektor z je zadaný jako minus dvě x a minus dvě y a ptají se nás na jeho velikost. Zase vidíme, že to je vynásobené nějakým skalárem, tentokrát minus dvojkou. Možná by vás teď svádělo udělat to, že vezmu velikost toho vektoru v a vynásobím to minus dvojkou. Ale pozor, velikost nikdy nemůže být záporná, velikost je vlastně délka té orientované úsečky, toho vektoru, když si to představím, a ta přece nikdy nemůže být záporná. To znaménko tady nám ukazuje, že dojde ke změně orientace toho vektoru, že bude mít opačný směr. Ale u velikosti nás to nezajímá, jako bychom u velikosti brali absolutní hodnotu toho skaláru, kterým násobíme a tedy jenom tu dvojku. Takže velikost vektoru v vynásobíme dvojkou a dostaneme velikost vektoru z, tedy dvakrát 5, to je 10. A teď máme ještě ke každému vektoru přiřadit orientovanou úsečku, která by mu mohla odpovídat. Máme tady takové náčrtky. Nějakou úplně krátkou orientovanou úsečku, nějakou docela dlouhou ve stejném směru a pak jednu trošku delší, ale ve směru opačném. Takže který z těch našich vektorů má nejmenší velikost? 5, 15 a 10, je to vektor v, jelikož jsme pokaždé násobili skalárem, který má absolutní hodnotu větší než jedna, takže jsou ty velikosti vždycky větší. Nejmenší je vektor v, ten by měl mít tu nejkratší orientovanou úsečku. Vektor w je třikrát delší a má stejný směr, takže vidíme, že to bude určitě tato orientovaná úsečka. A zbývá nám vektor z, který je dvakrát delší, má dvakrát větší velikost než vektor v. Ale jak už jsme řekli, díky tomuto znaménku minus má opačný směr než vektor v. A tomu přesně odpovídá tato fialová šipka. Pojďme ještě na jeden obdobný příklad, je to úplně stejné, jenom máme trochu jiná čísla. Tentokrát máme vektor v, který má velikost 10. A opět máme doplnit velikosti dalších dvou vektorů a přiřadit nějaké ty orientované úsečky. Tentokrát vektor w je zadaný jako jedna pětina x a jedna pětina y. Takže tentokrát je to vektor v vynásobený skalárem jedna pětina. Takže jeho velikost bude také pětinová oproti velikosti vektoru v. Vektor w bude mít velikost 10 děleno pěti, jedna pětina a tedy 2. Vektor z je tentokrát zadaný jako tři pětiny x a tři pětiny y. Zase vidíme, že jsme vynásobili vektor v, v tomto případě třemi pětinami, takže jeho velikost bude taky deset krát tři pětiny, jedna pětina je dva, tři pětiny je 6. A teď už nám jenom zbývá přiřadit ty orientované úsečky. Máme tady jednu úplně krátkou, jednu trochu delší a jednu nejdelší, všechny ve stejném směru. To je správně. Nemáme tady žádné znaménko minus. Tentokrát je vektorem s největší velikostí vektor v, poněvadž tady násobíme skaláry, čísly, menšími než jedna. Takže tohle to je náš vektor v, ten v uvozovkách nejdelší, s největší velikostí. A nejmenší je tentokrát vektor w. To bude ta nejkratší orientovaná úsečka a na z nám zase zbývá ten poslední, který má stejný směr a velikost, někde mezi těmito dvěma, což tak sedí, protože šest je někde mezi dvojkou a desítkou.