Velikost vektoru z jeho složek

Dnes se podíváme ještě jednou na velikost vektoru, tentokrát jak spočítat, když ho nemáme zadaný graficky, ale pomocí nějakých informací. Nejjednodušší asi je, když dostaneme vektor zadaný takto pomocí jeho složek. Pomocí jeho x-ové a y-ové složky. Pak je to úplně jednoduché, poněvadž velikost vektoru a vlastně spočítáme podle vzdálenosti dvou bodů neboli použitím Pythagorovy věty. Takže to spočítáme takto. Bude to odmocnina, a teď té složky x na druhou, tedy pět na druhou, plus té složky y-ové na druhou, minus tři na druhou. A pak už to jenom dopočítáme a bude to odmocnina z dvaceti pěti plus minus tři na druhou je devět, takže to bude odmocnina z třiceti čtyř. To je velikost našeho vektoru a. Pokud by vám ještě nebylo jasné, proč používáme vzdálenost dvou bodů nebo Pythagorovu větu, tak si to tady hned načrtneme. Načrtneme si ten vektor do soustavy souřadnic. Jeho počáteční bod bude v počátku soustavy souřadnic, což nutně být nemusí. My můžeme vektory, když neměníme jejich velikost a směr, tak je můžeme libovolně posouvat. Ale tohle bude nejjednodušší, poněvadž když jako počáteční bod zvolíme počátek soustavy souřadnic, tak koncový bod vektoru bude mít souřadnice stejné, jako jsou ty jeho x-ové a y-ové složky. Takže začneme tady a koncový bod bude tedy pět a minus tři, 5 a minus 3. To je tady. Takže teď už si ho můžeme načrtnout. Takto. To je náš vektor a. My jsme chtěli spočítat jeho velikost, což je vlastně délka této orientované úsečky. A hned vám ukážu, proč jsme použili tu Pythagorovu větu. My jdeme z jednoho bodu do druhého. Odsud sem. Takže, jak se posuneme podél osy y? Posuneme se takto, odsud sem. A jak se posuneme podél osy x? Takovýmto směrem. Takto. A teď už to asi vidíte. Vznikl nám tady pravoúhlý trojúhelník, kdy ta velikost vektoru, ta délka tady té orientované úsečky, je vlastně délka přepony toho trojúhelníku. A toto jsou dvě odvěsny. A jak spočítat délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, to už dávno známe. Je to odmocnina součtu druhých mocnin délek těch odvěsen. Takže ty délky máme tady. To si můžeme představit, když počítáme velikost, tak si to můžeme představit jako absolutní hodnotu, nebo nemusíme, protože to stejně umocňujeme na druhou, takže nám vyjde hodnota kladná. Takže to bude, jak už jsem řekla, odmocnina té x-ové složky na druhou plus y-ové složky na druhou.